Математика 8 класс

Математика 8 класс

Примерные серии задач интернет-кружка

1 серия (сентябрь) учебного года 2017-2018

Теория:

Модуль числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.


$\displaystyle \begin{equation*} \lvert a\rvert= \begin{cases} \displaystyle a, \ a\geqslant0\\ \displaystyle -a, \ a<0\end{cases} \end{equation*}$

Геометрический смысл модуля: модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется расстояние от точки, изображающей число $\displaystyle a$ на числовой прямой, до точки $\displaystyle 0$.

$\displaystyle |3| = 3$

$\displaystyle |0| = 0$

$\displaystyle |-3| = 3$

Свойства модуля:

1) $\displaystyle \lvert a\rvert\geqslant0$

2) $\displaystyle \lvert -a\rvert=\lvert a\rvert$

3) Если $\displaystyle \lvert a\rvert=b$, то при условии $\displaystyle b\geqslant0$ или $\displaystyle a=b$, или $\displaystyle a=-b$

Решение уравнений с модулем:

1) Решить уравнение: $\displaystyle |2x| = 6$.

Ответ: $\displaystyle 3; -3$.

2) Решить уравнение: $\displaystyle |- 5x| = - 5$.

Ответ: решений нет.

3) Решить уравнение: $\displaystyle |8 - 2x| = 0$.

Ответ: $\displaystyle 4$.

Степень с натуральным показателем

Степенью числа $\displaystyle a$ с натуральным показателем $\displaystyle n$, большим $\displaystyle 1$, называется произведение $\displaystyle n$ множителей, каждый из которых равен $\displaystyle a$:

$\displaystyle a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dotsc a}_{n} $

Степенью числа $\displaystyle a$ с показателем $\displaystyle 1$ называется само число $\displaystyle a$:

$\displaystyle a^1=a $

В выражении $\displaystyle a^n $ число $\displaystyle a$ - повторяющийся множитель, называют основанием степени, число $\displaystyle n$ , показывающее, сколько раз повторяется множитель, называют показателем степени.

Например: $\displaystyle 3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$; $\displaystyle 3$ - основание степени, $\displaystyle 4$ - показатель степени, $\displaystyle 81$ - значение степени.

Учимся решать задачи:

Задание 1:

Можно ли восстановить пропущенные цифры, чтобы равенство было верным: $\displaystyle 10 \cdot * = 3 \cdot (3 \cdot * + 5)$? Звёздочки могут обозначать одинаковые цифры, а могут и разные. Число звёздочек соответствует числу цифр.

Задание 2:

Расшифруйте запись, одинаковые буквы - это одинаковые цифры, разные буквы - разные цифры: $\displaystyle TATAT \cdot TO = TOTOTO$. Сколько различных решений имеет эта задача?

Задание 3:

Решите уравнение:

$\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 3 - |9 - 3x| = 1+2+3$.

Задание 4:

Сумма двух многочленов равна $\displaystyle x^3 + x^2 + x +1$. А их разность равна $\displaystyle x^3 - x^2 + x -1$. Назовите эти многочлены

Задание 5:

Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов $\displaystyle A$ и $\displaystyle B$ и встретились через час. Прибыв в пункты $\displaystyle B$ и $\displaystyle A$ соответственно, велосипедисты сразу же повернули назад и встретились вновь. Через какое время после первой встречи это произошло? Дайте ответ в часах.

Задание 6:

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: $\displaystyle 2x + 3y + 4z = 9$.

Задание 7:

Решите задачу: сколько автомашин грузоподъёмностью $\displaystyle 3$ т и $\displaystyle 5$ т необходимо для перевозки $\displaystyle 40$ т груза. Можно использовать машины только одного вида, а можно и двух видов - $\displaystyle 3$ т и $\displaystyle 5$ т.

Ответьте на вопрос: сколько решений имеет задача?

Задание 8:

Можно ли из чисел $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$ составить магический квадрат - разместить их в таблице $\displaystyle 3$ на $\displaystyle 3$ так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы и так, чтобы число $\displaystyle 7$ было в угловой клетке?

Задание 9:

Можно ли разрезать фигуру по линиям на пять равных, совпадающих при наложении, частей, если разрезанные фигуры можно переворачивать?

Задание 10:

На двух параллельных прямых отметили семь точек: три на одной и четыре на другой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

38 серия (май) учебного года 2017-2018

Теория:

Формулы Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений с двумя переменными:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle a_1x+b_1y=c_1,\\ \displaystyle a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}$

Числа $\displaystyle \Delta, \ \Delta_x, \ \Delta_y$ - определители системы.

$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1$.

$\displaystyle \Delta_x=\begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}=c_1b_2-c_2b_1$.

$\displaystyle \Delta_y=\begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}=a_1c_2-a_2c_1$.

При $\displaystyle \Delta \neq 0$ система имеет единственное решение:

$\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}; \ y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$.

При $\displaystyle \Delta=0$:

если $\displaystyle \Delta_x \neq0, \ \Delta_y \neq0$, то система не имеет решений,

если $\displaystyle \Delta_x=0$ или $\displaystyle \Delta_y=0$, то система имеет бесконечное множество решений.

Задача $\displaystyle 1$

Решить систему уравнений:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 3x-2y=2;\\ \displaystyle 6x-4y=3. \end{cases}$

Решение:

$\displaystyle \Delta = 3 \cdot (-4) - 6 \cdot (-2) = 0$

$\displaystyle \Delta_x = 2\cdot (-4) - 3\cdot (-2) = -2$

$\displaystyle \Delta_y = 3 \cdot 3 - 6 \cdot 2 = -3$

Уравнения системы противоречат друг другу.

Ответ: система не имеет решений.

Задача $\displaystyle 2$

Решить систему уравнений:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 2x-y=5;\\ \displaystyle 6x-3y=15. \end{cases}$

Решение:

$\displaystyle \Delta = 2 \cdot (-3) - 6 \cdot (-1) = 0$

$\displaystyle \Delta_x = 5\cdot (-3) - 15 \cdot (-1) = 0$

$\displaystyle \Delta_y = 2 \cdot 15 - 6 \cdot 5=0$

Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

Учимся решать задачи:

Задание 1:

Требуется разлить $\displaystyle 20,\!5$ л сока в банки по $\displaystyle 0,\!7$ л и по $\displaystyle 0,\!9$ л. Какое наименьшее количество банок при этом понадобится?

Задание 2:

Вова расставляет игрушечных солдатиков по $\displaystyle 10$ в шеренгу. В последней шеренге не хватило трёх солдатиков. Он стал ставить в шеренгу по $\displaystyle 12$ солдатиков - $\displaystyle 7$ осталось. Затем он уложил их в коробки по $\displaystyle 100$ штук - третья коробка оказалась неполной. Сколько всего солдатиков у Вовы?

Задание 3:

Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через $\displaystyle 3$ ч. За какое время пройдёт каждый из них всё расстояние, если первый пришёл в то место, из которого вышел второй, на $\displaystyle 2,\!5$ ч позже, чем второй пришёл в то место, откуда вышел первый.

Задание 4:

При каких значениях параметра $\displaystyle m$ квадратный трёхчлен $\displaystyle y=(-2m-2)x^{2}+(-2m+1)x-1$ отрицателен при всех значениях $\displaystyle x$? В ответ запишите наибольшее целое решение $\displaystyle m$.

Задание 5:

Решите уравнение: $\displaystyle x^4+2x^{3}-11x^{2}-12x+36=0$. Найдите сумму наибольшего и наименьшего корней уравнения.

Задание 6:

Найдите сумму корней уравнения: $\displaystyle |x + 6| = x^2 - 6x + 6$.

Задание 7:

Найдите все значения параметра $\displaystyle a$, при которых уравнение $\displaystyle a^2x + 2ax + x = 1$ не имеет корней.

Задание 8:

Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды с ребром $\displaystyle 5$ см.

Задание 9:

Назовите функцию по графику:

Задание 10:

Какое наибольшее число слонов можно поставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Как записаться в кружок, отправить свои ответы и узнать правильные ответы

Для того, чтобы стать участником кружка, нужно зарегистрироваться, войти в МетаШколу, записаться в выбранный кружок и оплатить занятия. Cпособы оплаты.

Для отправки своих ответов на проверку нужно после входа в МетаШколу щелкнуть по ссылке с названием выбранного кружка, затем по ссылке "Решить серию". Выбрав свои варианты ответов, нажать на кнопку "Отправить" внизу страницы.

Для того, чтобы узнать правильные ответы, нужно после входа в МетаШколу щелкнуть по ссылке с названием выбранного кружка, затем по ссылке "Посмотреть ответы". Правильные ответы становятся известными в 12 часов по понедельникам.