Математика 7 класс

Теория:

Уравнения

Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства - правой частью уравнения.

Каждое слагаемое левой и правой части уравнения называется членом уравнения.

Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Основные свойства уравнений

$\displaystyle 1$) Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

$\displaystyle 2$) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Равносильные уравнения

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Модуль числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.

$\displaystyle \begin{equation*} \lvert a\rvert= \begin{cases} \displaystyle a,& \ a\geqslant0\\ \displaystyle -a,& \ a<0\end{cases} \end{equation*}$

Геометрический смысл модуля

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется расстояние от точки, изображающей число $\displaystyle a$ на числовой прямой, до точки $\displaystyle 0$.

$\displaystyle |3| = 3$

$\displaystyle |0| = 0$

$\displaystyle |-3| = 3$

Решение уравнений с модулем

$\displaystyle 1)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x| = 7$.

Ответ: $\displaystyle 7;\ -7$.

$\displaystyle 2)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x| = -5$.

Ответ: решений нет.

$\displaystyle 3)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x - 1| = 0$.

Ответ: $\displaystyle 1$.

Десятичная система счисления

Натуральные числа - для счёта предметов.

Это числа $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \dots$

Ряд натуральных чисел бесконечен.

Цифры: $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$.

Число $\displaystyle 10$ – основание системы счисления.

Счёт идёт десятками, сотнями, тысячами и так далее.

Единица каждого следующего разряда в $\displaystyle 10$ раз больше единицы предыдущего разряда.

Разложение по разрядам:

$\displaystyle 3456 = $ $\displaystyle 3 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 + 4 \cdot 10 \cdot 10\ + $ $\displaystyle 5 \cdot 10\ + $ $\displaystyle 6 = $ $\displaystyle 3 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 6$.

Признаки делимости:

на $\displaystyle 2$ - натуральное число оканчивается чётной цифрой $\displaystyle 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8$;

на $\displaystyle 5$ - натуральное число оканчивается цифрой $\displaystyle 0$ или $\displaystyle 5$;

на $\displaystyle 10$ - натуральное число оканчивается цифрой $\displaystyle 0$;

на $\displaystyle 9$ - сумма цифр числа делится на $\displaystyle 9$;

на $\displaystyle 3$ - сумма цифр числа делится на $\displaystyle 3$;

на $\displaystyle 4$ - две последние цифры числа образуют двузначное число, делящееся на $\displaystyle 4$; например, число $\displaystyle 7924$ делится на $\displaystyle 4$, так как число $\displaystyle 24$ делится на $\displaystyle 4$;

на $\displaystyle 8$ - три последние цифры числа образуют трёхзначное число, делящееся на $\displaystyle 8$; например, число $\displaystyle 79168$ делится на $\displaystyle 8$, так как число $\displaystyle 168$ делится на $\displaystyle 8$.

Учимся решать задачи:

Задание 9:

Можно ли разрезать фигуру по линиям на четыре равные, совпадающие при наложении, части, если разрезанные фигуры можно переворачивать?

Варианты ответов:

Теория:

Формулы Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений с двумя переменными:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle a_1x+b_1y=c_1,\\ \displaystyle a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}$

Числа $\displaystyle \Delta, \ \Delta_x, \ \Delta_y$ - определители системы.

$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1$.

$\displaystyle \Delta_x=\begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}=c_1b_2-c_2b_1$.

$\displaystyle \Delta_y=\begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}=a_1c_2-a_2c_1$.

При $\displaystyle \Delta \neq 0$ система имеет единственное решение:

$\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}; \ y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$.

При $\displaystyle \Delta=0$:

если $\displaystyle \Delta_x \neq0, \ \Delta_y \neq0$, то система не имеет решений,

если $\displaystyle \Delta_x=0$ или $\displaystyle \Delta_y=0$, то система имеет бесконечное множество решений.

Задача $\displaystyle 1$

Сколько решений имеет система уравнений?

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 2x+y=7,\\ \displaystyle 5x-3y=2. \end{cases}$

Решение:

$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 5 & -3 \end{vmatrix}=2 \cdot (-3) - 5 \cdot 1 = $ $\displaystyle -11$

При $\displaystyle \Delta \neq 0$ система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет единственное решение.

Задача $\displaystyle 2$

Решить систему уравнений:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 4x-y=5;\\ \displaystyle 8x-2y=3. \end{cases}$

Решение:

$\displaystyle \Delta = 4 \cdot (-2) - 8 \cdot (-1) = 0$

$\displaystyle \Delta_x = 5\cdot (-2) - 3\cdot (-1) = -7$

$\displaystyle \Delta_y = 4 \cdot 3 - 8 \cdot 5 = -28$

Уравнения системы противоречат друг другу.

Ответ: система не имеет решений.

Задача $\displaystyle 3$

Решить систему уравнений:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle x-2y=1;\\ \displaystyle 3x-6y=3. \end{cases}$

Решение:

$\displaystyle \Delta = 1 \cdot (-6) - 3 \cdot (-2) = 0$

$\displaystyle \Delta_x = 1\cdot (-6) - 3 \cdot (-2) = 0$

$\displaystyle \Delta_y = 1 \cdot 3 - 3\cdot 1=0$

Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

Учимся решать задачи:

Варианты ответов:

Варианты ответов: