Математика 7 класс

Математика 7 класс

Примерные серии задач интернет-кружка

1 серия (сентябрь) учебного года 2017-2018

Теория:

Уравнения

Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства - правой частью уравнения.

Каждое слагаемое левой и правой части уравнения называется членом уравнения.

Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

Модуль числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.


$\displaystyle \begin{equation*} \lvert a\rvert= \begin{cases} \displaystyle a,& \ a\geqslant0\\ \displaystyle -a,& \ a<0\end{cases} \end{equation*}$

Геометрический смысл модуля: модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется расстояние от точки, изображающей число $\displaystyle a$ на числовой прямой, до точки $\displaystyle 0$.

$\displaystyle |3| = 3$

$\displaystyle |0| = 0$

$\displaystyle |-3| = 3$

Уравнение может иметь один корень.

Например, уравнение $\displaystyle |x-2|=0$ имеет единственный корень: $\displaystyle 2$.

Уравнение может иметь несколько корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x|=3$ имеет два корня: $\displaystyle 3;\ -3$.

Уравнение может иметь бесконечно много корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x+1|=|x+1|$ имеет бесконечно много корней: любое значение $\displaystyle x$ является корнем этого уравнения.

Уравнение может и не иметь корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x|=- 2$ не имеет корней, при любом значении $\displaystyle x$ левая часть этого уравнения больше правой.

Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Равносильные уравнения

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Например, уравнения $\displaystyle |x|=- 2$ и $\displaystyle |x+5|=-1$ равносильны.

Основные свойства уравнений:

$\displaystyle 1$) Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

$\displaystyle 2$) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение уравнений с модулем:

1) Решить уравнение: $\displaystyle |x| = 7$.

Ответ: $\displaystyle 7;\ -7$.

2) Решить уравнение: $\displaystyle |x| = -5$.

Ответ: решений нет.

3) Решить уравнение: $\displaystyle |x - 1| = 0$.

Ответ: $\displaystyle 1$.

Десятичная система счисления

Натуральные числа - для счёта предметов.

Это числа $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \dots$

Ряд натуральных чисел бесконечен.

Цифры: $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$.

Число $\displaystyle 10$ – основание системы счисления.

Счёт идёт десятками, сотнями, тысячами и так далее.

Единица каждого следующего разряда в $\displaystyle 10$ раз больше единицы предыдущего разряда.

Разложение по разрядам:

$\displaystyle 3456 = 3 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 + 4 \cdot 10 \cdot 10 + 5 \cdot 10 + 6 = 3 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 6$.

Признаки делимости:

на $\displaystyle 2$ - натуральное число оканчивается чётной цифрой $\displaystyle 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8$;

на $\displaystyle 5$ - натуральное число оканчивается цифрой $\displaystyle 0$ или $\displaystyle 5$;

на $\displaystyle 10$ - натуральное число оканчивается цифрой $\displaystyle 0$;

на $\displaystyle 9$ - сумма цифр числа делится на $\displaystyle 9$;

на $\displaystyle 3$ - сумма цифр числа делится на $\displaystyle 3$;

на $\displaystyle 4$ - две последние цифры числа образуют двузначное число, делящееся на $\displaystyle 4$; например, число $\displaystyle 7924$ делится на $\displaystyle 4$, так как число $\displaystyle 24$ делится на $\displaystyle 4$;

на $\displaystyle 8$ - три последние цифры числа образуют трёхзначное число, делящееся на $\displaystyle 8$; например, число $\displaystyle 79168$ делится на $\displaystyle 8$, так как число $\displaystyle 168$ делится на $\displaystyle 8$.

Учимся решать задачи:

Задание 1:

Даны последовательные числа: $\displaystyle -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Сколько троек последовательных чисел можно составить из этих чисел, сумма которых равна их произведению?

Задание 2:

Какое двузначное число в $\displaystyle 19$ раз больше числа его единиц?

Задание 3:

Первое число составляет $\displaystyle 80\%$ второго, второе – $\displaystyle 40\%$ третьего, а третье – $\displaystyle 20\%$ четвёртого. Найдите первое число, если сумма всех четырёх чисел равна $\displaystyle 336$.

Задание 4:

Сколько решений имеет уравнение:

$\displaystyle 1{,}5:0{,}05+|3x|=1{,}5 \cdot 40$?

Задание 5:

Пятнадцать лет назад Настя была в $\displaystyle 5$ раз старше своей сестры Тани. А через $\displaystyle 20$ лет Настя будет в $\displaystyle 1{,}5$ раза старше Тани. Сколько сейчас лет Насте? Дайте ответ в годах.

Задание 6:

Три велосипедиста одновременно стартовали по круговой дорожке. Первый делает полный круг за $\displaystyle 21$ мин, второй – за $\displaystyle 35$ мин, а третий – за $\displaystyle 15$ мин. Через сколько минут они ещё раз окажутся вместе на старте? Дайте ответ в минутах.

Задание 7:

Расшифруйте ребус, одинаковые буквы - это одинаковые цифры, разные буквы - разные цифры: $\displaystyle БАРБОС + БОБИК = СОБАКИ$. Известно, что $\displaystyle Б = 7$. Сколько решений имеет задача?

Задание 8:

Можно ли из чисел $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$ составить магический квадрат - разместить их в таблице $\displaystyle 3$ на $\displaystyle 3$ так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы и так, чтобы число $\displaystyle 3$ было в угловой клетке?

Задание 9:

Можно ли разрезать фигуру по линиям на четыре равные, совпадающие при наложении, части, если разрезанные фигуры можно переворачивать?

Задание 10:

На двух параллельных прямых отметили пять точек: две на одной и три на другой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

38 серия (май) учебного года 2017-2018

Теория:

Формулы Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений с двумя переменными:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle a_1x+b_1y=c_1,\\ \displaystyle a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}$

Числа $\displaystyle \Delta, \ \Delta_x, \ \Delta_y$ - определители системы.

$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1$.

$\displaystyle \Delta_x=\begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}=c_1b_2-c_2b_1$.

$\displaystyle \Delta_y=\begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}=a_1c_2-a_2c_1$.

При $\displaystyle \Delta \neq 0$ система имеет единственное решение:

$\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}; \ y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$.

При $\displaystyle \Delta=0$:

если $\displaystyle \Delta_x \neq0, \ \Delta_y \neq0$, то система не имеет решений,

если $\displaystyle \Delta_x=0$ или $\displaystyle \Delta_y=0$, то система имеет бесконечное множество решений.

Задача $\displaystyle 1$

Решить систему уравнений:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 3x-2y=7;\\ \displaystyle 6x-4y=1. \end{cases}$

Решение:

$\displaystyle \Delta = 3 \cdot (-4) - 6 \cdot (-2) = 0$

$\displaystyle \Delta_x = 7\cdot (-4) - 1\cdot (-2) = -26$

$\displaystyle \Delta_y = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 7 = -39$

Уравнения системы противоречат друг другу.

Ответ: система не имеет решений.

Задача $\displaystyle 2$

Решить систему уравнений:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 4x-y=7;\\ \displaystyle 8x-2y=14. \end{cases}$

Решение:

$\displaystyle \Delta = 4 \cdot (-2) - 8 \cdot (-1) = 0$

$\displaystyle \Delta_x = 7\cdot (-2) - 14 \cdot (-1) = 0$

$\displaystyle \Delta_y = (-1) \cdot 14 - (-2)\cdot 7=0$

Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

Учимся решать задачи:

Задание 1:

Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна $\displaystyle 331$. Назовите меньшее число.

Задание 2:

Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них меньше произведения двух других чисел на $\displaystyle 47$. Назовите большее число.

Задание 3:

Отец старше сына в $\displaystyle 11$ раз. Через $\displaystyle 6$ лет он будет старше сына в $\displaystyle 5$ раз. Сколько сейчас лет сыну? Дайте ответ в годах.

Задание 4:

Первая книга на $\displaystyle 50\%$ дороже второй. На сколько процентов вторая книга дешевле первой?

Задание 5:

Периметр квадрата уменьшили на $\displaystyle 20\%$. На сколько процентов уменьшилась площадь квадрата?

Задание 6:

Решите систему уравнений: $\displaystyle 2x+y+z=7$; $\displaystyle x+2y+z=8$; $\displaystyle x+y+2z=9$. Назовите значение $\displaystyle z$.

Задание 7:

Пешеход заметил, что через каждые $\displaystyle 12$ мин его обгоняет трамвай, а через каждые $\displaystyle 6$ мин он встречает трамвай. Считая движение равномерным, найдите интервалы между каждыми двумя трамваями. Дайте ответ в минутах.

Задание 8:

Найдите площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, если периметр основания равен $\displaystyle 16$ см, а высота боковой грани - $\displaystyle 6$ см.

Задание 9:

Назовите функцию по графику:

Задание 10:

Какое наибольшее число, не бьющих друг друга коней, можно поставить на шахматной доске?

Как записаться в кружок, отправить свои ответы и узнать правильные ответы

Для того, чтобы стать участником кружка, нужно зарегистрироваться, войти в МетаШколу, записаться в выбранный кружок и оплатить занятия. Cпособы оплаты.

Для отправки своих ответов на проверку нужно после входа в МетаШколу щелкнуть по ссылке с названием выбранного кружка, затем по ссылке "Решить серию". Выбрав свои варианты ответов, нажать на кнопку "Отправить" внизу страницы.

Для того, чтобы узнать правильные ответы, нужно после входа в МетаШколу щелкнуть по ссылке с названием выбранного кружка, затем по ссылке "Посмотреть ответы". Правильные ответы становятся известными в 12 часов по понедельникам.