Примеры уроков. Летний интенсив по математике — краткое повторение кружка 5 класса

Теория:

Десятичная система счисления

Натуральные числа - для счёта предметов.

Это числа ${\displaystyle 1,2,3,4,5,\dots }$

Ряд натуральных чисел бесконечен.

Цифры: ${\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$.

Число ${\displaystyle 10}$ – основание системы счисления.

Счёт идёт десятками, сотнями, тысячами и так далее.

${\displaystyle 1}$ десяток ${\displaystyle =10}$ единиц

${\displaystyle 1}$ сотня ${\displaystyle =10}$ десятков

${\displaystyle 1}$ тысяча ${\displaystyle =10}$ сотен

Единица каждого следующего разряда в ${\displaystyle 10}$ раз больше единицы предыдущего разряда.

${\displaystyle 1}$ миллион = ${\displaystyle 1000000}$

${\displaystyle 1}$ миллиард = ${\displaystyle 1000000000}$

Разложение по разрядам:

${\displaystyle 2345=2\cdot 10\cdot 10\cdot 10+3\cdot 10\cdot 10+}$ ${\displaystyle 4\cdot 10+}$ ${\displaystyle 5=}$ ${\displaystyle 2\cdot 1000+3\cdot 100+4\cdot 10+5}$.

Чётные числа делятся на ${\displaystyle 2}$, оканчиваются на чётную цифру ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 6}$ или ${\displaystyle 8}$.

Нечётные числа не делятся на ${\displaystyle 2}$, оканчиваются на нечётную цифру ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle 7}$ или ${\displaystyle 9}$.

Натуральные числа, делящиеся на ${\displaystyle 5}$, оканчиваются цифрой ${\displaystyle 0}$ или ${\displaystyle 5}$.

Цифры в записи числа не повторяются, например: ${\displaystyle 13579}$.

Цифры в записи числа повторяются, например: ${\displaystyle 32183}$, ${\displaystyle 28822}$, ${\displaystyle 55555}$.

В двузначном числе ${\displaystyle 53}$ цифра десятков - ${\displaystyle 5}$, а цифра единиц - ${\displaystyle 3}$. Цифра единиц на ${\displaystyle 2}$ меньше, чем цифра десятков.

Задача

Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 3}$, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение:

1 способ: запишем все возможные числа в порядке возрастания: ${\displaystyle 1023}$, ${\displaystyle 1032}$, ${\displaystyle 1203}$, ${\displaystyle 1230}$, ${\displaystyle 1302}$, ${\displaystyle 1320}$, ${\displaystyle 2013}$, ${\displaystyle 2031}$, ${\displaystyle 2103}$, ${\displaystyle 2130}$, ${\displaystyle 2301}$, ${\displaystyle 2310}$, ${\displaystyle 3012}$, ${\displaystyle 3021}$, ${\displaystyle 3102}$, ${\displaystyle 3120}$, ${\displaystyle 3201}$, ${\displaystyle 3210}$.

2 способ: первая цифра может быть любая из ${\displaystyle 3}$-х (${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$ или ${\displaystyle 3}$) - ${\displaystyle 0}$ записать нельзя; вторая цифра - не может быть такой же, как первая, но может быть ${\displaystyle 0}$, значит, ${\displaystyle 3}$ возможности, затем ${\displaystyle 2}$ возможности для предпоследней цифры и ${\displaystyle 1}$ возможность для постановки последней цифры.

${\displaystyle 3\cdot 3\cdot 2\cdot 1=18}$.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления только две цифры ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$.

С их помощью можно записать любое число.

Счёт ведётся двойками. За основание системы счисления принимается число ${\displaystyle 2}$.

Число ${\displaystyle 2}$ записывается в виде ${\displaystyle {10}_2}$, читается "один-нуль".

Каждая единица следующего разряда в ${\displaystyle 2}$ раза больше предыдущей.

Числа от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle 10}$ записываются так:

${\displaystyle 1_2}$, ${\displaystyle {10}_2}$, ${\displaystyle {11}_2}$, ${\displaystyle {100}_2}$, ${\displaystyle {101}_2}$, ${\displaystyle {110}_2}$, ${\displaystyle {111}_2}$, ${\displaystyle {1000}_2}$, ${\displaystyle {1001}_2}$, ${\displaystyle {1010}_2}$.

Латинский алфавит (${\displaystyle 26}$ букв):

${\displaystyle A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,}$

${\displaystyle K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,}$

${\displaystyle U,V,W,X,Y,Z.}$

Объёмные фигуры - куб, шар, прямоугольный параллелепипед, цилиндр.

Плоские фигуры - квадрат, круг, треугольник, прямоугольник.

Учимся решать задачи

Теория:

Игры

Игры-шутки

Это игры, исход которых не зависит от того, как играют соперники.

Игры с симметрией

В таких играх выгодно отвечать на ход противника "симметричным" ходом.

Игры с выигрышными позициями

В таких играх следует искать выигрышную позицию и стремиться передать очередь невыгодного хода противнику.

Задача ${\displaystyle 1}$

На столе лежат ${\displaystyle 30}$ камешков. Два игрока по очереди берут ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$ или ${\displaystyle 3}$ камешка. Проигравшим считается тот, кто возьмёт со стола последние камешки. Докажите, что при правильной игре выигрывает начинающий.

Доказательство:

Выигрышная стратегия для первого игрока: первому игроку следует первым ходом взять один камешек, а в дальнейшем дополнять число камешков, взятых вторым игроком на последнем ходу, до ${\displaystyle 4}$.

Задача ${\displaystyle 2}$

Игра начинается с числа ${\displaystyle 0}$. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle 9}$. Выиграет тот, кто получит число ${\displaystyle 100}$. Кто и как выиграет при правильной игре?

Решение:

Выиграет второй. Второй игрок должен прибавлять такое число, чтобы в сумме получить число, делящееся на ${\displaystyle 10}$.

Ответ: выиграет второй при правильной игре.

Учимся решать задачи

Кендоку

Разгадайте кендоку: заполните клетки числами от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle 4}$ включительно так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа не повторялись. Число, которое записано в углу каждого выделенного блока - это результат сложения, вычитания, умножения или деления в этом блоке. Числа внутри блока могут повторяться.

Решение:

Варианты ответов: