Примеры уроков. ЕГЭ по математике (профильный уровень) для 10-11 классов

Взаимное расположение прямых в пространстве

Две различные  прямые в пространстве могут быть:

• параллельны (в таком случае существует и притом единственная плоскость, их содержащая, а угол между этими прямыми равен ${\displaystyle 0^{\circ }}$);
• пересекаться (в таком случае существует и притом единственная плоскость, их содержащая, а угол между этими прямыми вычисляется в этой плоскости);
• скрещиваться (в таком случае не существует плоскости, содержащей одновременно обе эти прямые, а угол между скрещивающимися прямыми находят с помощью параллельного переноса одной из прямых до пересечения со второй прямой).

Часто при нахождении угла между прямыми в пространстве используют теорему косинусов для треугольника, две стороны которого находятся на указанных прямых, или прямых, параллельных указанным.

Теорема косинусов: Для треугольника ${\displaystyle ABC}$ верно ${\displaystyle B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \mathrm{\angle }BAC.}$

Перпендикулярность прямой и плоскост

Определение: прямая ${\displaystyle a}$ перпендикулярна плоскости ${\displaystyle \alpha ,}$ если прямая ${\displaystyle a}$ перпендикулярна любой прямой, содержащейся в плоскости ${\displaystyle \alpha :}$ ${\displaystyle a\perp \alpha .}$

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярно двум пересекающимся прямым, содержащимся в плоскости ${\displaystyle \alpha ,}$ то прямая ${\displaystyle a}$ перпендикулярна плоскости ${\displaystyle \alpha .}$

Напоминание: в задачах по геометрии на доказательство можно использовать свойства или определение (например, того, что некоторая прямая ${\displaystyle a}$ перпендикуляра некоторой плоскости ${\displaystyle \alpha }$) в том случае, когда факт (например, что ${\displaystyle a\perp \alpha }$) известен из условия или получен по ходу решения, например, с помощью признака. Если же в условии задачи не дано, что определённая прямая ${\displaystyle a}$ перпендикуляра определённой плоскости и в решении не используется признак, по которому можно утверждать, что это так, то пользоваться свойствами или определением недопустимо (это будет грубой ошибкой).

Через любую точку пространства можно провести прямую, и притом единственную, перпендикулярную данной плоскости.

Если точка ${\displaystyle A}$ не принадлежит плоскости ${\displaystyle \alpha ,}$ то проведение такой прямой называют опущением или проведением перпендикуляра на указанную плоскость из точки ${\displaystyle A}$ на плоскость ${\displaystyle \alpha ,}$ а прямую, проходящую через точку ${\displaystyle A}$ и точку ${\displaystyle H}$ пересечения перпендикуляра и плоскости (основания перпендикуляра) называют проекцией этой прямой на плоскость ${\displaystyle \alpha .}$

Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью

Прямая и плоскость могут быть:

• параллельны (в таком случае угол между ними равен ${\displaystyle 0^{\circ }}$);
• плоскость может содержать прямую (в таком случае угол между ними также равен ${\displaystyle 0^{\circ }}$);
• пересекаться и быть перпендикулярными (в таком случае угол между ними равен ${\displaystyle {90}^{\circ }}$);
• пересекаться и не быть перпендикулярными (в таком случае угол между ними углу между этой прямой и её проекцией на эту плоскость).

Часто для нахождения угла между прямой и плоскостью используют теорему о трёх перпендикулярах.

Теорема о трёх перпендикулярах

Если через некоторую точку вне плоскости ${\displaystyle \alpha }$ проведены перпендикуляр ${\displaystyle h}$ к плоскости ${\displaystyle \alpha }$ и прямая ${\displaystyle a}$ - наклонная к плоскости ${\displaystyle \alpha ,}$ прямая ${\displaystyle b}$ является проекцией прямой ${\displaystyle a}$ на плоскости ${\displaystyle \alpha ,}$ и в плоскости ${\displaystyle \alpha }$ содержится некоторая прямая ${\displaystyle c,}$ то:

если проекция ${\displaystyle b}$ перпендикулярна прямой ${\displaystyle c,}$ то и наклонная ${\displaystyle a}$ перпендикулярна прямой ${\displaystyle c;}$ 

и обратно: если наклонная ${\displaystyle a}$ перпендикулярна прямой ${\displaystyle c,}$ то и проекция ${\displaystyle b}$ перпендикулярна прямой ${\displaystyle c.}$

Взаимное расположение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть параллельны или пересекаться.

Признак параллельности двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны;

отрезки параллельных прямых, отсекаемые параллельными плоскостями, равны между собой.

Свойства параллельных плоскостей необходимы при решении задач, в которых присутствуют призмы, в том числе параллелепипеды или цилиндры, так как при проведения сечения многогранника, отрезки сечения, лежащего в параллельных гранях, будут параллельны друг другу.

Угол между плоскостями

Если две различные плоскости, например, ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ не параллельны, то есть имеют хотя бы одну общую точку, тогда их пересечением является прямая, например ${\displaystyle c,}$ которая делит каждую из плоскостей на две полуплоскости.  Фигура, содержащая общую прямую этих двух плоскостей и по одной полуплоскости от каждой из плоскостей называется двугранным углом.

Если из некоторой точки ${\displaystyle O}$ на прямой ${\displaystyle c}$ провести в указанных полуплоскостях двугранного угла лучи ${\displaystyle OA}$ и ${\displaystyle OB}$ где ${\displaystyle A\in \alpha ,OA\perp c}$ и ${\displaystyle B\in \beta ,OB\perp c,}$ то угол, образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла между плоскостями ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta .}$

Угол между плоскостями равен наименьшему (острому или прямому) линейному углу двугранных углов между этими плоскостями. 

Для нахождения угла между плоскостями часто используют теорему о трёх перпендикулярах (см. выше). А в случае, когда требуется доказать, что угол между двумя плоскостями равен ${\displaystyle {90}^{\circ },}$ то есть две плоскости перпендикулярны, можно использовать признак перпендикулярности двух плоскостей:

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Если одна из двух плоскостей пересекает прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Напоминание: в задачах по геометрии на доказательство можно использовать свойства или определение в том случае, когда факт известен из условия или получен по ходу решения, например, с помощью признака. Если же в условии задачи факт не указан и в решении не используется признак, по которому можно утверждать, что это так, то пользоваться свойствами или определением недопустимо (это будет грубой ошибкой).