Примеры уроков. ЕГЭ по математике (профильный уровень) для 10-11 классовПримеры уроков. ЕГЭ по математике (профильный уровень) для 10-11 классов |
Теория будет показана немного позже
Примеры задач будут показаны немного позже
Взаимное расположение прямых в пространстве
Две различные прямые в пространстве могут быть:
Часто при нахождении угла между прямыми в пространстве используют теорему косинусов для треугольника, две стороны которого находятся на указанных прямых, или прямых, параллельных указанным.
Теорема косинусов: Для треугольника $\displaystyle ABC$ верно $\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC.$
Перпендикулярность прямой и плоскост
Определение: прямая $\displaystyle a$ перпендикулярна плоскости $\displaystyle \alpha,$ если прямая $\displaystyle a$ перпендикулярна любой прямой, содержащейся в плоскости $\displaystyle \alpha:$ $\displaystyle a \perp \alpha.$
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярно двум пересекающимся прямым, содержащимся в плоскости $\displaystyle \alpha,$ то прямая $\displaystyle a$ перпендикулярна плоскости $\displaystyle \alpha.$
Напоминание: в задачах по геометрии на доказательство можно использовать свойства или определение (например, того, что некоторая прямая $\displaystyle a$ перпендикуляра некоторой плоскости $\displaystyle \alpha$) в том случае, когда факт (например, что $\displaystyle a \perp \alpha$) известен из условия или получен по ходу решения, например, с помощью признака. Если же в условии задачи не дано, что определённая прямая $\displaystyle a$ перпендикуляра определённой плоскости и в решении не используется признак, по которому можно утверждать, что это так, то пользоваться свойствами или определением недопустимо (это будет грубой ошибкой).
Через любую точку пространства можно провести прямую, и притом единственную, перпендикулярную данной плоскости.
Если точка $\displaystyle A$ не принадлежит плоскости $\displaystyle \alpha,$ то проведение такой прямой называют опущением или проведением перпендикуляра на указанную плоскость из точки $\displaystyle A$ на плоскость $\displaystyle \alpha,$ а прямую, проходящую через точку $\displaystyle A$ и точку $\displaystyle H$ пересечения перпендикуляра и плоскости (основания перпендикуляра) называют проекцией этой прямой на плоскость $\displaystyle \alpha.$
Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью
Прямая и плоскость могут быть:
Часто для нахождения угла между прямой и плоскостью используют теорему о трёх перпендикулярах.
Теорема о трёх перпендикулярах
Если через некоторую точку вне плоскости $\displaystyle \alpha$ проведены перпендикуляр $\displaystyle h$ к плоскости $\displaystyle \alpha$ и прямая $\displaystyle a$ - наклонная к плоскости $\displaystyle \alpha,$ прямая $\displaystyle b$ является проекцией прямой $\displaystyle a$ на плоскости $\displaystyle \alpha,$ и в плоскости $\displaystyle \alpha$ содержится некоторая прямая $\displaystyle c,$ то:
если проекция $\displaystyle b$ перпендикулярна прямой $\displaystyle c,$ то и наклонная $\displaystyle a$ перпендикулярна прямой $\displaystyle c;$
и обратно: если наклонная $\displaystyle a$ перпендикулярна прямой $\displaystyle c,$ то и проекция $\displaystyle b$ перпендикулярна прямой $\displaystyle c.$
Взаимное расположение двух плоскостей
Две плоскости в пространстве могут быть параллельны или пересекаться.
Признак параллельности двух плоскостей
Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Свойства параллельных плоскостей
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны;
отрезки параллельных прямых, отсекаемые параллельными плоскостями, равны между собой.
Свойства параллельных плоскостей необходимы при решении задач, в которых присутствуют призмы, в том числе параллелепипеды или цилиндры, так как при проведения сечения многогранника, отрезки сечения, лежащего в параллельных гранях, будут параллельны друг другу.
Угол между плоскостями
Если две различные плоскости, например, $\displaystyle \alpha$ и $\displaystyle \beta$ не параллельны, то есть имеют хотя бы одну общую точку, тогда их пересечением является прямая, например $\displaystyle c,$ которая делит каждую из плоскостей на две полуплоскости. Фигура, содержащая общую прямую этих двух плоскостей и по одной полуплоскости от каждой из плоскостей называется двугранным углом.
Если из некоторой точки $\displaystyle O$ на прямой $\displaystyle c$ провести в указанных полуплоскостях двугранного угла лучи $\displaystyle OA$ и $\displaystyle OB$ где $\displaystyle A \in \alpha, OA \perp c$ и $\displaystyle B \in \beta, OB \perp c,$ то угол, образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла между плоскостями $\displaystyle \alpha$ и $\displaystyle \beta.$
Угол между плоскостями равен наименьшему (острому или прямому) линейному углу двугранных углов между этими плоскостями.
Для нахождения угла между плоскостями часто используют теорему о трёх перпендикулярах (см. выше). А в случае, когда требуется доказать, что угол между двумя плоскостями равен $\displaystyle 90^\circ,$ то есть две плоскости перпендикулярны, можно использовать признак перпендикулярности двух плоскостей:
Признак перпендикулярности двух плоскостей
Если одна из двух плоскостей пересекает прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Напоминание: в задачах по геометрии на доказательство можно использовать свойства или определение в том случае, когда факт известен из условия или получен по ходу решения, например, с помощью признака. Если же в условии задачи факт не указан и в решении не используется признак, по которому можно утверждать, что это так, то пользоваться свойствами или определением недопустимо (это будет грубой ошибкой).
Задание 1:
Упражнение 1. Найдите угол между прямыми $\displaystyle KN$ и $\displaystyle ML,$ если известно, что $\displaystyle M-$ середина $\displaystyle KN,$ $\displaystyle LN=9,$ $\displaystyle KN=10, LM=6.$
Ответ:
$\displaystyle arccos \left(- \frac 1 3 \right)$
$\displaystyle arccos \frac 1 3 $
$\displaystyle - \frac 1 3 $
$\displaystyle arctg \frac 1 3 $
Задание 2:
Упражнение 2. В тетраэдре $\displaystyle CKMD$ рёбра $\displaystyle CK=3,$ $\displaystyle CM=12$ и $\displaystyle CD=4$ взаимно перпендикулярны. Найдите угол между плоскостью $\displaystyle KMD$ и плоскостью $\displaystyle CKD.$
Ответ:
$\displaystyle 0.2$
$\displaystyle 5$
$\displaystyle arctg(0.2)$
$\displaystyle arctg5$
Задание 3:
В параллелепипеде $\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $\displaystyle AA_1=15.$ На ребре $\displaystyle CC_1$ отмечена точка $\displaystyle K$ такая, что $\displaystyle CK=5.$ Через точки $\displaystyle K$ и $\displaystyle D$ проведена плоскость $\displaystyle \alpha$, параллельная $\displaystyle C_1A.$
а) Докажите, что плоскость $\displaystyle \alpha$ делит отрезок $\displaystyle BC$ пополам.
б) Найдите угол между плоскостью $\displaystyle \alpha$ и плоскостью $\displaystyle CDC_1,$ если известно, что параллелепипед - прямоугольный и $\displaystyle AB=AC=12.$
Ответ: $\displaystyle arctg$
Задание 4:
Прямоугольник $\displaystyle ABCD$ со сторонами $\displaystyle AB=4, AD=6$ является основанием 4-угольной пирамиды с вершиной $\displaystyle P.$
Известно, что $\displaystyle AP=8, PB=4\sqrt 3, PC=2 \sqrt {21}.$
а) Докажите, что $\displaystyle PB$ - высота пирамиды $\displaystyle PABCD.$
б) Найдите угол между прямой $\displaystyle PD$ и плоскостью $\displaystyle APB.$ Ответ: $\displaystyle arccos$
Задание 5:
Прямоугольник $\displaystyle ABCD$ со сторонами $\displaystyle AB=2, AD=2 \sqrt 3$ является основанием 4-угольной пирамиды с вершиной $\displaystyle P.$ Известно, что $\displaystyle AP=2 \sqrt {13}, PB=4\sqrt 3, PC=2 \sqrt {15}.$
а) Докажите, что $\displaystyle PB$ - высота пирамиды $\displaystyle PABCD.$
б) Найдите угол между прямыми $\displaystyle AC$ и $\displaystyle PD.$ Ответ: $\displaystyle arccos$
Задание 6:
Сечением прямоугольного параллелепипеда $\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\displaystyle \alpha$, содержащей прямую $\displaystyle AC_1$ и параллельной прямой $\displaystyle BD_1,$ является ромб.
а) Докажите, что $\displaystyle ABCD$ - квадрат.
б) Найдите угол между плоскостью $\displaystyle \alpha$ и плоскостью $\displaystyle ABA_1,$ если известно, что $\displaystyle AA_1=10, AD=\sqrt {21}.$
Ответ: $\displaystyle arctg$
Задание 7:
В прямом цилиндре проведена образующая $\displaystyle BB_1$ и отрезок $\displaystyle AC_1$ так, что $\displaystyle AC_1$ пересекает ось цилиндра, точки $\displaystyle A$ и $\displaystyle B$ находятся на одной окружности оснований цилиндра, а точки $\displaystyle B_1$ и $\displaystyle C_1$ - на другой.
а) Докажите, что прямые $\displaystyle AB$ и $\displaystyle BC_1$ перпендикулярны
б) Найдите угол между прямыми $\displaystyle BB_1$ и $\displaystyle AC_1$,если известно, что $\displaystyle AB=12, B_1C_1=5, BB_1=10.$
Ответ: $\displaystyle arctg$
Задание 8:
В прямом цилиндре проведена образующая $\displaystyle BB_1$ и отрезок $\displaystyle AC_1$ так, что $\displaystyle AC_1$ пересекает ось цилиндра, точки $\displaystyle A$ и $\displaystyle B$ находятся на одной окружности оснований цилиндра, а точки $\displaystyle B_1$ и $\displaystyle C_1$ - на другой.
а) Докажите, что прямые $\displaystyle AB$ и $\displaystyle BC_1$ перпендикулярны
б) Найдите угол между прямой $\displaystyle AC_1$ и плоскостью $\displaystyle BB_1C_1,$ если известно, что $\displaystyle AB=4, B_1C_1=4\sqrt 7, AA_1=16.$
Ответ: $\displaystyle \arccos$