Математика 6 класс

Математика 6 класс

Примерные серии задач интернет-кружка

1 серия (сентябрь) учебного года 2019-2020

Теория:

Десятичная система счисления

Натуральные числа - для счёта предметов.

Это числа $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \dots$

Ряд натуральных чисел бесконечен.

Цифры: $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$.

Число $\displaystyle 10$ – основание системы счисления.

Счёт идёт десятками, сотнями, тысячами и так далее.

Единица каждого следующего разряда в $\displaystyle 10$ раз больше единицы предыдущего разряда.

Разложение по разрядам:

$\displaystyle 3456 = 3 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 + 4 \cdot 10 \cdot 10 + 5 \cdot 10 + 6 = 3 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 6$.

Признаки делимости:

на $\displaystyle 2$ - натуральное число оканчивается чётной цифрой $\displaystyle 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8$;

на $\displaystyle 5$ - натуральное число оканчивается цифрой $\displaystyle 0$ или $\displaystyle 5$;

на $\displaystyle 10$ - натуральное число оканчивается цифрой $\displaystyle 0$.

Латинский алфавит ($\displaystyle 26$ букв):

$\displaystyle Aa,\ Bb,\ Cc,\ Dd,\ Ee,\ Ff,\ Gg,\ Hh,\ Ii,\ Jj,\ Kk,\ Ll,\ Mm,$

$\displaystyle Nn,\ Oo,\ Pp,\ Qq,\ Rr,\ Ss,\ Tt,\ Uu,\ Vv,\ Ww,\ Xx,\ Yy,\ Zz.$

Учимся решать задачи:

Задание 1:

Найдите наименьшее чётное четырёхзначное число, кратное $\displaystyle 7$ и $\displaystyle 23$.

Задание 2:

Сколько существует натуральных чисел от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 100$, каждое из которых делится на $\displaystyle 5$, но не делится на $\displaystyle 2$, и в своей записи не имеет ни одной тройки?

Задание 3:

В строчку выписаны целые числа от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 1000$. Сколько в этой записи троек?

Задание 4:


Для нумерации страниц книги потребовалось всего $\displaystyle 119$ цифр. Сколько страниц в книге?

Задание 5:

Девять одинаковых блокнотов стоят меньше $\displaystyle 16$ рублей, а тринадцать таких же блокнотов – больше $\displaystyle 23$ рублей. Сколько стоит один блокнот? Дайте ответ в копейках.

Задание 6:

Можно ли рассадить $\displaystyle 46$ кроликов по $\displaystyle 9$ клеткам так, чтобы во всех клетках сидело разное число кроликов и в каждой клетке сидел хотя бы один кролик?

Варианты ответов:

нет
да

Задание 7:


Четыре белки съели $\displaystyle 1999$ орехов, каждая не меньше, чем $\displaystyle 100$. Первая белка съела больше всех. Вторая и третья вместе съели $\displaystyle 1265$ орехов. Сколько орехов съела первая белка?

Задание 8:

Можно ли из чисел $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$ составить магический квадрат - разместить их в таблице $\displaystyle 3$ на $\displaystyle 3$ так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы, и так, чтобы число $\displaystyle 9$ было в угловой клетке?

Варианты ответов:

да
нет

Задание 9:

Можно ли разрезать фигуру по линиям на три равные, совпадающие при наложении, части? Разрезанные фигуры можно переворачивать.

Варианты ответов:

нет
да

Задание 10:

Сколько кубиков нужно для построения фигуры?

Варианты ответов:

9
8
12
11
10

38 серия (май) учебного года 2019-2020

Теория:

Игры

Игры с выигрышными позициями. В таких играх следует искать выигрышную позицию и стремиться передать очередь невыгодного хода противнику.

Задача $\displaystyle 1$

На столе лежат $\displaystyle 34$ камешка. Два игрока по очереди берут $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$ или $\displaystyle 3$ камешка. Проигравшим считается тот, кто возьмёт со стола последние камешки. Кто и как выиграет при правильной игре?

Решение:

Выигрышная стратегия для первого игрока: первому игроку следует первым ходом взять один камешек, а в дальнейшем дополнять число камешков, взятых вторым игроком на последнем ходу, до $\displaystyle 4$.

Ответ: выиграет первый при правильной игре.

Задача $\displaystyle 2$

Игра начинается с числа $\displaystyle 0$. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 9$. Выиграет тот, кто получит число $\displaystyle 70$. Кто и как выиграет при правильной игре?

Решение:

Выиграет второй. Второй игрок должен прибавлять такое число, чтобы в сумме получить число, делящееся на $\displaystyle 10$.

Ответ: выиграет второй при правильной игре.

Задача $\displaystyle 3$

У ромашки $\displaystyle n$ лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто и как выиграет при правильной игре, если: 1) $\displaystyle n=12$; 2) $\displaystyle n=13$?

Решение:

Выиграет второй игрок в любом случае. Независимо от хода первого игрока, второй может после своего хода оставить две одинаковые по длине цепочки лепестков, а затем делать симметричные ходы.

Ответ: выиграет второй при правильной игре.

Учимся решать задачи:

Задание 1:

Можно ли в числе $\displaystyle 7030506$ все нули заменить одной и той же нечётной цифрой, чтобы полученное число делилось на $\displaystyle 9$?

Варианты ответов:

да
нет

Задание 2:

Разделите число $\displaystyle 310$ на три части $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ и $\displaystyle z$ так, чтобы $\displaystyle x : y = 3 : 2$, а $\displaystyle y : z = 5 : 3$. Назовите значение $\displaystyle z$.

Задание 3:

Сумма двух чисел равна $\displaystyle 221$, а их наименьшее общее кратное $\displaystyle 612$. Найдите большее число.

Задание 4:

Два числа относятся как $\displaystyle 2:5$. На какое число надо разделить второе число, чтобы отношение стало равным $\displaystyle 2:3$?

Варианты ответов:

$\displaystyle \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{5}{3}$
$\displaystyle \frac{3}{2}$
$\displaystyle \frac{2}{5}$
$\displaystyle \frac{5}{2}$

Задание 5:

Пять чисел относятся между собой, как $\displaystyle 1:2:3:4:5$. Найдите большее число, если сумма первого числа и третьего равна $\displaystyle 80$.

Задание 6:

Первая бригада может выполнить задание за $\displaystyle 36$ дней, а вторая – за $\displaystyle 45$ дней. За сколько дней две бригады выполнят задание, работая вместе?

Задание 7:

Билет в кино со скидкой в $\displaystyle 20\%$ стоит $\displaystyle 100$ рублей. Сколько стоит билет без скидки? Дайте ответ в рублях.

Задание 8:

Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если радиус его основания равен $\displaystyle 4$ см, а высота равна $\displaystyle 5$ см. Дайте ответ в квадратных сантиметрах с точностью до целых.

Задание 9:

Верно ли утверждение: на картинке можно найти не менее шести пятиугольников?

Варианты ответов:

да
нет

Задание 10:

Можно ли поставить на шахматную доску несколько ладей так, чтобы ровно одна клетка не была бита?

Варианты ответов:

нет
да

Как записаться в кружок, отправить свои ответы и узнать правильные ответы

Для того, чтобы стать участником кружка, нужно зарегистрироваться, войти в МетаШколу, выбрать кружок и оплатить занятия. Cпособы оплаты.

Для отправки своих ответов на проверку нужно после входа в МетаШколу щелкнуть по ссылке с названием выбранного кружка, затем по ссылке "Решить серию". Выбрав свои варианты ответов, нажать на кнопку "Отправить" внизу страницы.

Для того, чтобы узнать правильные ответы, нужно после входа в МетаШколу щелкнуть по ссылке с названием выбранного кружка, затем по ссылке "Посмотреть ответы". Правильные ответы становятся известными в 12 часов по понедельникам.