[Летний интенсив по математике - краткое повторение кружка 8 класса]

Летний интенсив по математике - краткое повторение кружка 8 класса

Летний интенсив по математике - краткое повторение кружка 8 класса

Примеры заданий онлайн-курса «Летний интенсив»

Примеры заданий онлайн-курса «Летний интенсив»

1 урок


Модуль числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.


$\displaystyle \begin{equation*} \lvert a\rvert= \begin{cases} \displaystyle a, \ a\geqslant0\\ \displaystyle -a, \ a<0\end{cases} \end{equation*}$


Геометрический смысл модуля: модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется расстояние от точки, изображающей число $\displaystyle a$ на числовой прямой, до точки $\displaystyle 0$.

$\displaystyle |3| = 3$

$\displaystyle |0| = 0$

$\displaystyle |-3| = 3$


Свойства модуля

$\displaystyle 1)$ $\displaystyle \lvert a\rvert\geqslant0$

$\displaystyle 2)$ $\displaystyle \lvert -a\rvert=\lvert a\rvert$

$\displaystyle 3)$ Если $\displaystyle \lvert a\rvert=b$ при условии $\displaystyle b\geqslant0$, то $\displaystyle a=b$ или $\displaystyle a=-b$

$\displaystyle 4)$ Если $\displaystyle \lvert a\rvert=\lvert b\rvert$, то $\displaystyle a=b$ или $\displaystyle a=-b$


Уравнение

Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства - правой частью уравнения.

Каждое слагаемое левой и правой части уравнения называется членом уравнения.


Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.


Уравнение может иметь один корень.

Например, уравнение $\displaystyle |x-2|=0$ имеет единственный корень: $\displaystyle 2$.


Уравнение может иметь несколько корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x|=3$ имеет два корня: $\displaystyle 3;\ -3$.


Уравнение может иметь бесконечно много корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x+1|=|x+1|$ имеет бесконечно много корней: любое значение $\displaystyle x$ является корнем этого уравнения.


Уравнение может и не иметь корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x|=- 2$ не имеет корней, при любом значении $\displaystyle x$ левая часть этого уравнения больше правой.


Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.


Равносильные уравнения

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Например, уравнения $\displaystyle |x|=- 2$ и $\displaystyle |x+5|=-1$ равносильны.


Основные свойства уравнений

$\displaystyle 1$) Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

$\displaystyle 2$) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Системы уравнений

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$, которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство.

Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Например:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle x+y=5\\ \displaystyle x-y=1 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle x=3\\ \displaystyle y=2 \end{cases}$


Решение уравнений с модулем:


$\displaystyle 1)$ Решить уравнение: $\displaystyle |2x| = 6$.

Ответ: $\displaystyle 3; -3$.


$\displaystyle 2)$ Решить уравнение: $\displaystyle |- 5x| = - 5$.

Ответ: решений нет.


$\displaystyle 3)$ Решить уравнение: $\displaystyle |8 - 2x| = 0$.

Ответ: $\displaystyle 4$.


$\displaystyle 4)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x|+x=0$.

Решение: $\displaystyle |x|=-x; x\leqslant0$.

Ответ: $\displaystyle x\leqslant0$.


$\displaystyle 5)$ Решить уравнение: $\displaystyle |2x+1|=|x-5|$.

Решение: уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\displaystyle \bigg [ \begin{align} 2x+1&=x-5\\ 2x+1&=-(x-5) \end{align} $

$\displaystyle \bigg [ \begin{align} x&=-6\\ x&=\frac{4}{3} \end{align} $

Ответ: $\displaystyle -6;\ \frac{4}{3}$.


$\displaystyle 6)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x-3|=x+2$.

Решение: уравнение равносильно системе из неравенства $\displaystyle x+2\geqslant0$ и совокупности двух уравнений:

$\displaystyle \bigg [ \begin{align} x&-3=x+2\\ x&-3=-x-2 \end{align} $

Первое уравнение совокупности решений не имеет; корень второго уравнения совокупности равен $\displaystyle \frac{1}{2}$.

$\displaystyle \frac{1}{2}$ является решением неравенства $\displaystyle x+2\geqslant0$.

Ответ: $\displaystyle \frac{1}{2}$.


Учимся решать задачи

Задание 1:

Что больше $\displaystyle 6^{15}$ или $\displaystyle 4^{23}$?

Варианты ответов:

$\displaystyle 6^{15}$
$\displaystyle 4^{23}$

Задание 2:

Решите уравнение:

$\displaystyle 5 \cdot 8 - |10 - 5x| = 1000:25$.

Задание 3:

Решите уравнение: $\displaystyle |3x-5|=|2x+1|$. Назовите меньший корень уравнения.

Варианты ответов:

$\displaystyle 4$
$\displaystyle \frac{4}{5}$
$\displaystyle -\frac{4}{5}$
$\displaystyle 6$
$\displaystyle -6$

Задание 4:

Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов $\displaystyle A$ и $\displaystyle B$ и встретились через $\displaystyle 2$ часа. Прибыв в пункты $\displaystyle B$ и $\displaystyle A$ соответственно, велосипедисты сразу же повернули назад и встретились вновь. Через какое время после первой встречи это произошло? Дайте ответ в часах.

Задание 5:

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: $\displaystyle 2x + 3y + 4z = 11$.

Задание 6:

Назовите функцию по графику:

Варианты ответов:

$\displaystyle y=x-3$
$\displaystyle y=|x|+3$
$\displaystyle y=-|x|-3$
$\displaystyle y=|x|-3$
$\displaystyle y=-x-3$

Задание 7:

На двух параллельных прямых отметили шесть точек: две на одной и четыре на другой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Задание 8:

Можно ли из чисел $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$ составить магический квадрат - разместить их в таблице $\displaystyle 3$ на $\displaystyle 3$ так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы и так, чтобы число $\displaystyle 9$ было в угловой клетке?

Варианты ответов:

нет
да

Задание 9:

Найдите меньший угол выпуклого пятиугольника, если известно, что углы пропорциональны числам $\displaystyle 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4$.

Варианты ответов:

$\displaystyle 72^{\circ}$
$\displaystyle 36^{\circ}$
$\displaystyle 40^{\circ}$
$\displaystyle 70^{\circ}$
$\displaystyle 80^{\circ}$

Задание 10:

Найдите площадь закрашенной фигуры, если площадь одной клетки равна $\displaystyle 1$ см$\displaystyle ^2$. Дайте ответ в квадратных сантиметрах.

Варианты ответов:

$\displaystyle 24,\!5$
$\displaystyle 24$
$\displaystyle 23$
$\displaystyle 22,\!5$
$\displaystyle 23,\!5$

20 урок


Модули и параметры


Решение уравнений


$\displaystyle 1)$ Сколько решений имеет уравнение $\displaystyle |x-1|=3a$ в зависимости от $\displaystyle a$?

Решение:

Если $\displaystyle a>0$ - два решения $\displaystyle x=3a+1$ и $\displaystyle x=-3a+1$;

если $\displaystyle a=0$ - одно решение $\displaystyle x=1$;

если $\displaystyle a<0$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a>0$ - два; если $\displaystyle a=0$ - одно; если $\displaystyle a<0$ - решений нет.


$\displaystyle 2)$ Сколько решений имеет уравнение $\displaystyle |5-x|=-5a$ в зависимости от $\displaystyle a$?

Решение:

Если $\displaystyle a<0$ - два решения $\displaystyle x=5a+5$ и $\displaystyle x=-5a+5$;

если $\displaystyle a=0$ - одно решение $\displaystyle x=5$;

если $\displaystyle a>0$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a<0$ - два; если $\displaystyle a=0$ - одно; если $\displaystyle a>0$ - решений нет.


$\displaystyle 3)$ Для каждого значения параметра $\displaystyle a$ определите число корней уравнения $\displaystyle |3x+5|+9=a$.

Решение:

$\displaystyle |3x+5|=a-9$

Если $\displaystyle a=9$ - одно решение $\displaystyle x=- \frac {5}{3}$;

если $\displaystyle a>9$ - два решения $\displaystyle x=\frac {a-14}{3}$ и $\displaystyle x=\frac {-a+4}{3}$;

если $\displaystyle a<9$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a=9$ - одно решение; если $\displaystyle a>9$ - два решения; если $\displaystyle a<9$ - решений нет.


$\displaystyle 4)$ Для каждого значения параметра $\displaystyle a$ определите число корней уравнения $\displaystyle |7-2x|=-a^6$.

Решение:

$\displaystyle |7-2x|=-a^6$

Если $\displaystyle a=0$ - один корень $\displaystyle x=3,\!5$;

если $\displaystyle a≠0$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a=0$ - один корень; если $\displaystyle a≠0$ - решений нет.


Учимся решать задачи


Кендоку

Разгадайте кендоку: заполните клетки числами от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 5$ включительно так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа не повторялись. Число, которое записано в углу каждого выделенного блока - это результат сложения, вычитания, умножения или деления в этом блоке. Числа внутри блока могут повторяться.

Решение:

Задание 1:

Найдите больший корень уравнения: $\displaystyle |||x| - 1| - 1| = 1$.

Задание 2:

При каком значении параметра $\displaystyle a$ уравнение $\displaystyle ax = a + 3x + 3$ не имеет корней?

Задание 3:

Сколько решений имеет система уравнений?

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 2x+3y=4\\ \displaystyle 6x=12-9y \end{cases}$

Варианты ответов:

единственное решение
решений нет
бесконечное множество решений

Задание 4:

Какое число надо записать вместо вопросительного знака?

Задание 5:

Найдите целые решения уравнения: $\displaystyle 3x+y=5$.

Варианты ответов:

$\displaystyle x=1+n$; $\displaystyle y=2-3n$, где $\displaystyle n$ – целое число
решений нет
$\displaystyle x=1+n$; $\displaystyle y=2+3n$, где $\displaystyle n$ – целое число
$\displaystyle x=2+n$; $\displaystyle y=1-3n$, где $\displaystyle n$ – целое число
$\displaystyle x=-1+n$; $\displaystyle y=2-3n$, где $\displaystyle n$ – целое число

Задание 6:

Коле через $\displaystyle 2$ года будет вдвое больше лет, чем ему было $\displaystyle 2$ года назад, а Оля через три года будет втрое старше, чем $\displaystyle 3$ года назад. Сколько будет Оле через пять лет? Дайте ответ в годах.

Задание 7:

В ящике находятся $\displaystyle 6$ белых, $\displaystyle 7$ чёрных и $\displaystyle 8$ красных шара. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что взятый шар не белый и не чёрный?

Варианты ответов:

$\displaystyle \frac {8}{13}$
$\displaystyle \frac {3}{7}$
$\displaystyle \frac {8}{21}$
$\displaystyle \frac {13}{21}$
$\displaystyle \frac {1}{3}$

Задание 8:

Скорость велосипедиста на первой половине пути была на $\displaystyle 3$ км/ч больше, чем его скорость на второй половине пути. С какой скоростью велосипедист проехал вторую половину пути, если весь путь в $\displaystyle 90$ км он преодолел за $\displaystyle 5,\!5$ ч? Дайте ответ в километрах в час.

Задание 9:

Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен $\displaystyle 8$ см. Дайте ответ в сантиметрах.

Задание 10:

Разгадайте кендоку: заполните клетки числами от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 5$ включительно так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа не повторялись. Число, которое записано в углу каждого выделенного блока - это результат сложения, вычитания, умножения или деления в этом блоке. Числа внутри блока могут повторяться.

Какое число будет записано в верхней строке в угловой клетке справа?

Как записаться на курс

Для того, чтобы записаться на курс, нужно зарегистрироваться, войти в МетаШколу, перейти по ссылке «Все курсы, оплата». Cпособы оплаты.