Летний интенсив по математике — краткое повторение кружка 8 класса

Модуль числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.

$\displaystyle \begin{equation*} \lvert a\rvert= \begin{cases} \displaystyle a, \ a\geqslant0\\ \displaystyle -a, \ a<0\end{cases} \end{equation*}$

Геометрический смысл модуля: модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется расстояние от точки, изображающей число $\displaystyle a$ на числовой прямой, до точки $\displaystyle 0$.

$\displaystyle |3| = 3$

$\displaystyle |0| = 0$

$\displaystyle |-3| = 3$

Свойства модуля

$\displaystyle 1)$ $\displaystyle \lvert a\rvert\geqslant0$

$\displaystyle 2)$ $\displaystyle \lvert -a\rvert=\lvert a\rvert$

$\displaystyle 3)$ Если $\displaystyle \lvert a\rvert=b$ при условии $\displaystyle b\geqslant0$, то $\displaystyle a=b$ или $\displaystyle a=-b$

$\displaystyle 4)$ Если $\displaystyle \lvert a\rvert=\lvert b\rvert$, то $\displaystyle a=b$ или $\displaystyle a=-b$

Уравнение

Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства - правой частью уравнения.

Каждое слагаемое левой и правой части уравнения называется членом уравнения.

Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

Уравнение может иметь один корень.

Например, уравнение $\displaystyle |x-2|=0$ имеет единственный корень: $\displaystyle 2$.

Уравнение может иметь несколько корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x|=3$ имеет два корня: $\displaystyle 3;\ -3$.

Уравнение может иметь бесконечно много корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x+1|=|x+1|$ имеет бесконечно много корней: любое значение $\displaystyle x$ является корнем этого уравнения.

Уравнение может и не иметь корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x|=- 2$ не имеет корней, при любом значении $\displaystyle x$ левая часть этого уравнения больше правой.

Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Равносильные уравнения

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Например, уравнения $\displaystyle |x|=- 2$ и $\displaystyle |x+5|=-1$ равносильны.

Основные свойства уравнений

$\displaystyle 1$) Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

$\displaystyle 2$) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Системы уравнений

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$, которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство.

Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Например:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle x+y=5\\ \displaystyle x-y=1 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle x=3\\ \displaystyle y=2 \end{cases}$

Решение уравнений с модулем:

$\displaystyle 1)$ Решить уравнение: $\displaystyle |2x| = 6$.

Ответ: $\displaystyle 3; -3$.

$\displaystyle 2)$ Решить уравнение: $\displaystyle |- 5x| = - 5$.

Ответ: решений нет.

$\displaystyle 3)$ Решить уравнение: $\displaystyle |8 - 2x| = 0$.

Ответ: $\displaystyle 4$.

$\displaystyle 4)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x|+x=0$.

Решение: $\displaystyle |x|=-x; x\leqslant0$.

Ответ: $\displaystyle x\leqslant0$.

$\displaystyle 5)$ Решить уравнение: $\displaystyle |2x+1|=|x-5|$.

Решение: уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\displaystyle \bigg [ \begin{align} 2x+1&=x-5\\ 2x+1&=-(x-5) \end{align} $

$\displaystyle \bigg [ \begin{align} x&=-6\\ x&=\frac{4}{3} \end{align} $

Ответ: $\displaystyle -6;\ \frac{4}{3}$.

$\displaystyle 6)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x-3|=x+2$.

Решение: уравнение равносильно системе из неравенства $\displaystyle x+2\geqslant0$ и совокупности двух уравнений:

$\displaystyle \bigg [ \begin{align} x&-3=x+2\\ x&-3=-x-2 \end{align} $

Первое уравнение совокупности решений не имеет; корень второго уравнения совокупности равен $\displaystyle \frac{1}{2}$.

$\displaystyle \frac{1}{2}$ является решением неравенства $\displaystyle x+2\geqslant0$.

Ответ: $\displaystyle \frac{1}{2}$.

Учимся решать задачи

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Модули и параметры

Решение уравнений

$\displaystyle 1)$ Сколько решений имеет уравнение $\displaystyle |x-1|=3a$ в зависимости от $\displaystyle a$?

Решение:

Если $\displaystyle a>0$ - два решения $\displaystyle x=3a+1$ и $\displaystyle x=-3a+1$;

если $\displaystyle a=0$ - одно решение $\displaystyle x=1$;

если $\displaystyle a<0$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a>0$ - два; если $\displaystyle a=0$ - одно; если $\displaystyle a<0$ - решений нет.

$\displaystyle 2)$ Сколько решений имеет уравнение $\displaystyle |5-x|=-5a$ в зависимости от $\displaystyle a$?

Решение:

Если $\displaystyle a<0$ - два решения $\displaystyle x=5a+5$ и $\displaystyle x=-5a+5$;

если $\displaystyle a=0$ - одно решение $\displaystyle x=5$;

если $\displaystyle a>0$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a<0$ - два; если $\displaystyle a=0$ - одно; если $\displaystyle a>0$ - решений нет.

$\displaystyle 3)$ Для каждого значения параметра $\displaystyle a$ определите число корней уравнения $\displaystyle |3x+5|+9=a$.

Решение:

$\displaystyle |3x+5|=a-9$

Если $\displaystyle a=9$ - одно решение $\displaystyle x=- \frac {5}{3}$;

если $\displaystyle a>9$ - два решения $\displaystyle x=\frac {a-14}{3}$ и $\displaystyle x=\frac {-a+4}{3}$;

если $\displaystyle a<9$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a=9$ - одно решение; если $\displaystyle a>9$ - два решения; если $\displaystyle a<9$ - решений нет.

$\displaystyle 4)$ Для каждого значения параметра $\displaystyle a$ определите число корней уравнения $\displaystyle |7-2x|=-a^6$.

Решение:

$\displaystyle |7-2x|=-a^6$

Если $\displaystyle a=0$ - один корень $\displaystyle x=3,\!5$;

если $\displaystyle a≠0$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a=0$ - один корень; если $\displaystyle a≠0$ - решений нет.

Учимся решать задачи

Кендоку

Разгадайте кендоку: заполните клетки числами от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 5$ включительно так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа не повторялись. Число, которое записано в углу каждого выделенного блока - это результат сложения, вычитания, умножения или деления в этом блоке. Числа внутри блока могут повторяться.

Решение:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов: