Примеры уроков. Летний интенсив по математике — краткое повторение кружка 8 классаПримеры уроков. Летний интенсив по математике — краткое повторение кружка 8 класса |
Модуль числа
Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.
$\displaystyle \begin{equation*} \lvert a\rvert= \begin{cases} \displaystyle a, \ a\geqslant0\\ \displaystyle -a, \ a<0\end{cases} \end{equation*}$
Геометрический смысл модуля: модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется расстояние от точки, изображающей число $\displaystyle a$ на числовой прямой, до точки $\displaystyle 0$.
$\displaystyle |3| = 3$
$\displaystyle |0| = 0$
$\displaystyle |-3| = 3$
Свойства модуля
$\displaystyle 1)$ $\displaystyle \lvert a\rvert\geqslant0$
$\displaystyle 2)$ $\displaystyle \lvert -a\rvert=\lvert a\rvert$
$\displaystyle 3)$ Если $\displaystyle \lvert a\rvert=b$ при условии $\displaystyle b\geqslant0$, то $\displaystyle a=b$ или $\displaystyle a=-b$
$\displaystyle 4)$ Если $\displaystyle \lvert a\rvert=\lvert b\rvert$, то $\displaystyle a=b$ или $\displaystyle a=-b$
Уравнение
Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.
Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства - правой частью уравнения.
Каждое слагаемое левой и правой части уравнения называется членом уравнения.
Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.
Уравнение может иметь один корень.
Например, уравнение $\displaystyle |x-2|=0$ имеет единственный корень: $\displaystyle 2$.
Уравнение может иметь несколько корней.
Например, уравнение $\displaystyle |x|=3$ имеет два корня: $\displaystyle 3;\ -3$.
Уравнение может иметь бесконечно много корней.
Например, уравнение $\displaystyle |x+1|=|x+1|$ имеет бесконечно много корней: любое значение $\displaystyle x$ является корнем этого уравнения.
Уравнение может и не иметь корней.
Например, уравнение $\displaystyle |x|=- 2$ не имеет корней, при любом значении $\displaystyle x$ левая часть этого уравнения больше правой.
Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
Равносильные уравнения
Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.
Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.
Например, уравнения $\displaystyle |x|=- 2$ и $\displaystyle |x+5|=-1$ равносильны.
Основные свойства уравнений
$\displaystyle 1$) Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
$\displaystyle 2$) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Системы уравнений
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$, которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство.
Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет.
Например:
$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle x+y=5\\ \displaystyle x-y=1 \end{cases}$
$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle x=3\\ \displaystyle y=2 \end{cases}$
Решение уравнений с модулем:
$\displaystyle 1)$ Решить уравнение: $\displaystyle |2x| = 6$.
Ответ: $\displaystyle 3; -3$.
$\displaystyle 2)$ Решить уравнение: $\displaystyle |- 5x| = - 5$.
Ответ: решений нет.
$\displaystyle 3)$ Решить уравнение: $\displaystyle |8 - 2x| = 0$.
Ответ: $\displaystyle 4$.
$\displaystyle 4)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x|+x=0$.
Решение: $\displaystyle |x|=-x; x\leqslant0$.
Ответ: $\displaystyle x\leqslant0$.
$\displaystyle 5)$ Решить уравнение: $\displaystyle |2x+1|=|x-5|$.
Решение: уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$\displaystyle \bigg [ \begin{align} 2x+1&=x-5\\ 2x+1&=-(x-5) \end{align} $
$\displaystyle \bigg [ \begin{align} x&=-6\\ x&=\frac{4}{3} \end{align} $
Ответ: $\displaystyle -6;\ \frac{4}{3}$.
$\displaystyle 6)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x-3|=x+2$.
Решение: уравнение равносильно системе из неравенства $\displaystyle x+2\geqslant0$ и совокупности двух уравнений:
$\displaystyle \bigg [ \begin{align} x&-3=x+2\\ x&-3=-x-2 \end{align} $
Первое уравнение совокупности решений не имеет; корень второго уравнения совокупности равен $\displaystyle \frac{1}{2}$.
$\displaystyle \frac{1}{2}$ является решением неравенства $\displaystyle x+2\geqslant0$.
Ответ: $\displaystyle \frac{1}{2}$.
Учимся решать задачи
Задание 1:
Что больше $\displaystyle 6^{15}$ или $\displaystyle 4^{23}$?
Варианты ответов:
Задание 2:
Решите уравнение:
$\displaystyle 5 \cdot 8 - |10 - 5x| = 1000:25$.
Задание 3:
Решите уравнение: $\displaystyle |3x-5|=|2x+1|$. Назовите меньший корень уравнения.
Варианты ответов:
Задание 4:
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов $\displaystyle A$ и $\displaystyle B$ и встретились через $\displaystyle 2$ часа. Прибыв в пункты $\displaystyle B$ и $\displaystyle A$ соответственно, велосипедисты сразу же повернули назад и встретились вновь. Через какое время после первой встречи это произошло? Дайте ответ в часах.
Задание 5:
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: $\displaystyle 2x + 3y + 4z = 11$.
Задание 6:
Назовите функцию по графику:
Варианты ответов:
Задание 7:
На двух параллельных прямых отметили шесть точек: две на одной и четыре на другой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Задание 8:
Можно ли из чисел $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$ составить магический квадрат - разместить их в таблице $\displaystyle 3$ на $\displaystyle 3$ так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы и так, чтобы число $\displaystyle 9$ было в угловой клетке?
Варианты ответов:
Задание 9:
Варианты ответов:
Задание 10:
Найдите площадь закрашенной фигуры, если площадь одной клетки равна $\displaystyle 1$ см$\displaystyle ^2$. Дайте ответ в квадратных сантиметрах.
Варианты ответов:
Модули и параметры
Решение уравнений
$\displaystyle 1)$ Сколько решений имеет уравнение $\displaystyle |x-1|=3a$ в зависимости от $\displaystyle a$?
Решение:
Если $\displaystyle a>0$ - два решения $\displaystyle x=3a+1$ и $\displaystyle x=-3a+1$;
если $\displaystyle a=0$ - одно решение $\displaystyle x=1$;
если $\displaystyle a<0$ - решений нет.
Ответ: если $\displaystyle a>0$ - два; если $\displaystyle a=0$ - одно; если $\displaystyle a<0$ - решений нет.
$\displaystyle 2)$ Сколько решений имеет уравнение $\displaystyle |5-x|=-5a$ в зависимости от $\displaystyle a$?
Решение:
Если $\displaystyle a<0$ - два решения $\displaystyle x=5a+5$ и $\displaystyle x=-5a+5$;
если $\displaystyle a=0$ - одно решение $\displaystyle x=5$;
если $\displaystyle a>0$ - решений нет.
Ответ: если $\displaystyle a<0$ - два; если $\displaystyle a=0$ - одно; если $\displaystyle a>0$ - решений нет.
$\displaystyle 3)$ Для каждого значения параметра $\displaystyle a$ определите число корней уравнения $\displaystyle |3x+5|+9=a$.
Решение:
$\displaystyle |3x+5|=a-9$
Если $\displaystyle a=9$ - одно решение $\displaystyle x=- \frac {5}{3}$;
если $\displaystyle a>9$ - два решения $\displaystyle x=\frac {a-14}{3}$ и $\displaystyle x=\frac {-a+4}{3}$;
если $\displaystyle a<9$ - решений нет.
Ответ: если $\displaystyle a=9$ - одно решение; если $\displaystyle a>9$ - два решения; если $\displaystyle a<9$ - решений нет.
$\displaystyle 4)$ Для каждого значения параметра $\displaystyle a$ определите число корней уравнения $\displaystyle |7-2x|=-a^6$.
Решение:
$\displaystyle |7-2x|=-a^6$
Если $\displaystyle a=0$ - один корень $\displaystyle x=3,\!5$;
если $\displaystyle a≠0$ - решений нет.
Ответ: если $\displaystyle a=0$ - один корень; если $\displaystyle a≠0$ - решений нет.
Учимся решать задачи
Кендоку
Разгадайте кендоку: заполните клетки числами от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 5$ включительно так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа не повторялись. Число, которое записано в углу каждого выделенного блока - это результат сложения, вычитания, умножения или деления в этом блоке. Числа внутри блока могут повторяться.
Решение:
Задание 1:
Задание 2:
Задание 3:
Сколько решений имеет система уравнений?
$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 2x+3y=4\\ \displaystyle 6x=12-9y \end{cases}$
Варианты ответов:
Задание 4:
Какое число надо записать вместо вопросительного знака?
Задание 5:
Найдите целые решения уравнения: $\displaystyle 3x+y=5$.
Варианты ответов:
Задание 6:
Задание 7:
Варианты ответов:
Задание 8:
Задание 9:
Задание 10:
Разгадайте кендоку: заполните клетки числами от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 5$ включительно так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа не повторялись. Число, которое записано в углу каждого выделенного блока - это результат сложения, вычитания, умножения или деления в этом блоке. Числа внутри блока могут повторяться.
Какое число будет записано в верхней строке в угловой клетке справа?