Летний интенсив по математике — краткое повторение кружка 7 класса

Уравнения

Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства - правой частью уравнения.

Каждое слагаемое левой и правой части уравнения называется членом уравнения.

Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

Модуль числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.

$\displaystyle \begin{equation*} \lvert a\rvert= \begin{cases} \displaystyle a,& \ a\geqslant0\\ \displaystyle -a,& \ a<0\end{cases} \end{equation*}$

Геометрический смысл модуля: модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется расстояние от точки, изображающей число $\displaystyle a$ на числовой прямой, до точки $\displaystyle 0$.

$\displaystyle |3| = 3$

$\displaystyle |0| = 0$

$\displaystyle |-3| = 3$

Уравнение может иметь один корень.

Например, уравнение $\displaystyle |x-2|=0$ имеет единственный корень: $\displaystyle 2$.

Уравнение может иметь несколько корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x|=3$ имеет два корня: $\displaystyle 3;\ -3$.

Уравнение может иметь бесконечно много корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x+1|=|x+1|$ имеет бесконечно много корней: любое значение $\displaystyle x$ является корнем этого уравнения.

Уравнение может и не иметь корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x|=- 2$ не имеет корней, при любом значении $\displaystyle x$ левая часть этого уравнения больше правой.

Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Равносильные уравнения

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Например, уравнения $\displaystyle |x|=- 2$ и $\displaystyle |x+5|=-1$ равносильны.

Основные свойства уравнений:

$\displaystyle 1$) Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

$\displaystyle 2$) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение уравнений с модулем:

$\displaystyle 1)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x| = 7$.

Ответ: $\displaystyle 7;\ -7$.

$\displaystyle 2)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x| = -5$.

Ответ: решений нет.

$\displaystyle 3)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x - 1| = 0$.

Ответ: $\displaystyle 1$.

$\displaystyle 4)$ Решить уравнение: $\displaystyle |2x-1|=3$.

Решение: уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\displaystyle \bigg [ \begin{align} 2x-1&=3\\ 2x-1&=-3 \end{align} $

Корень первого уравнения - число $\displaystyle 2$, а корень второго – число $\displaystyle -1$.

$\displaystyle \bigg [ \begin{align} x&=2\\ x&=-1 \end{align} $

Ответ: $\displaystyle 2;\ -1$.

$\displaystyle 5)$ Решить уравнение: $\displaystyle |3-5x|=-2$.

Ответ: решений нет.

Учимся решать задачи

Модули и параметры

Решение уравнений

$\displaystyle 1)$ Сколько решений имеет уравнение $\displaystyle |x|=a$ в зависимости от $\displaystyle a$?

Решение:

Если $\displaystyle a>0$ - два решения $\displaystyle x=a$ и $\displaystyle x=-a$;

если $\displaystyle a=0$ - одно решение $\displaystyle x=0$;

если $\displaystyle a<0$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a>0$ - два; если $\displaystyle a=0$ - одно; если $\displaystyle a<0$ - решений нет.

$\displaystyle 2)$ Сколько решений имеет уравнение $\displaystyle |x-1|=2a$ в зависимости от $\displaystyle a$?

Решение:

Если $\displaystyle a>0$ - два решения $\displaystyle x=2a+1$ и $\displaystyle x=-2a+1$;

если $\displaystyle a=0$ - одно решение $\displaystyle x=1$;

если $\displaystyle a<0$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a>0$ - два; если $\displaystyle a=0$ - одно; если $\displaystyle a<0$ - решений нет.

$\displaystyle 3)$ Для каждого значения параметра $\displaystyle a$ определите число корней уравнения $\displaystyle |5x-3|-7=a$.

Решение:

$\displaystyle |5x-3|=a+7$

Если $\displaystyle a=-7$ - одно решение $\displaystyle x=\frac {3}{5}$;

если $\displaystyle a>-7$ - два решения $\displaystyle x=\frac {a+10}{5}$ и $\displaystyle x=\frac {-a-4}{5}$;

если $\displaystyle a<-7$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a=-7$ - одно решение; если $\displaystyle a>-7$ - два решения; если $\displaystyle a<-7$ - решений нет.

Учимся решать задачи

Кендоку

Разгадайте кендоку: заполните клетки числами от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 5$ включительно так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа не повторялись. Число, которое записано в углу каждого выделенного блока - это результат сложения, вычитания, умножения или деления в этом блоке. Числа внутри блока могут повторяться.

Решение: