[Летний интенсив по математике - краткое повторение кружка 7 класса]

Летний интенсив по математике - краткое повторение кружка 7 класса

Летний интенсив по математике - краткое повторение кружка 7 класса

Примеры заданий онлайн-курса «Летний интенсив»

Примеры заданий онлайн-курса «Летний интенсив»

1 урок


Уравнения


Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства - правой частью уравнения.

Каждое слагаемое левой и правой части уравнения называется членом уравнения.


Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.


Модуль числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.


$\displaystyle \begin{equation*} \lvert a\rvert= \begin{cases} \displaystyle a,& \ a\geqslant0\\ \displaystyle -a,& \ a<0\end{cases} \end{equation*}$


Геометрический смысл модуля: модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется расстояние от точки, изображающей число $\displaystyle a$ на числовой прямой, до точки $\displaystyle 0$.

$\displaystyle |3| = 3$

$\displaystyle |0| = 0$

$\displaystyle |-3| = 3$


Уравнение может иметь один корень.

Например, уравнение $\displaystyle |x-2|=0$ имеет единственный корень: $\displaystyle 2$.


Уравнение может иметь несколько корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x|=3$ имеет два корня: $\displaystyle 3;\ -3$.


Уравнение может иметь бесконечно много корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x+1|=|x+1|$ имеет бесконечно много корней: любое значение $\displaystyle x$ является корнем этого уравнения.


Уравнение может и не иметь корней.

Например, уравнение $\displaystyle |x|=- 2$ не имеет корней, при любом значении $\displaystyle x$ левая часть этого уравнения больше правой.


Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.


Равносильные уравнения

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Например, уравнения $\displaystyle |x|=- 2$ и $\displaystyle |x+5|=-1$ равносильны.


Основные свойства уравнений:


$\displaystyle 1$) Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.


$\displaystyle 2$) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.


Решение уравнений с модулем:


$\displaystyle 1)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x| = 7$.

Ответ: $\displaystyle 7;\ -7$.


$\displaystyle 2)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x| = -5$.

Ответ: решений нет.


$\displaystyle 3)$ Решить уравнение: $\displaystyle |x - 1| = 0$.

Ответ: $\displaystyle 1$.


$\displaystyle 4)$ Решить уравнение: $\displaystyle |2x-1|=3$.

Решение: уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\displaystyle \bigg [ \begin{align} 2x-1&=3\\ 2x-1&=-3 \end{align} $

Корень первого уравнения - число $\displaystyle 2$, а корень второго – число $\displaystyle -1$.

$\displaystyle \bigg [ \begin{align} x&=2\\ x&=-1 \end{align} $

Ответ: $\displaystyle 2;\ -1$.


$\displaystyle 5)$ Решить уравнение: $\displaystyle |3-5x|=-2$.

Ответ: решений нет.


Учимся решать задачи

Задание 1:

Какое двузначное число в $\displaystyle 17$ раз больше числа его единиц?

Задание 2:

Существует ли такое натуральное число, которое при делении на $\displaystyle 4$ даёт остаток $\displaystyle 1$, а при делении на $\displaystyle 8$ даёт остаток $\displaystyle 3$?

Варианты ответов:

да
нет

Задание 3:

Первое число составляет $\displaystyle 60\%$ второго, второе – $\displaystyle 50\%$ третьего, а третье – $\displaystyle 20\%$ четвёртого. Найдите первое число, если сумма всех четырёх чисел равна $\displaystyle 272$.

Задание 4:

Сколько решений имеет уравнение:

$\displaystyle 1{,}2:0{,}03+|4x|=1{,}5 \cdot 80$?

Задание 5:

Решите уравнение: $\displaystyle |5-2x|=7$. Найдите сумму корней уравнения.

Задание 6:

Три велосипедиста одновременно стартовали по круговой дорожке. Первый делает полный круг за $\displaystyle 4$ мин, второй – за $\displaystyle 6$ мин, а третий – за $\displaystyle 8$ мин. Через сколько минут они ещё раз окажутся вместе на старте? Дайте ответ в минутах.

Задание 7:

В пяти ящиках яблок поровну. Если из каждого ящика взять по $\displaystyle 80$ яблок, то во всех ящиках вместе останется столько яблок, сколько раньше было в трёх ящиках. Сколько яблок было первоначально в каждом ящике?

Задание 8:

Первая бригада может выполнить задание за $\displaystyle 18$ дней, а вторая - за $\displaystyle 36$ дней. За сколько дней бригады выполнят задание, работая вместе? Дайте ответ в днях.

Задание 9:

Можно ли из чисел $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$ составить магический квадрат - разместить их в таблице $\displaystyle 3$ на $\displaystyle 3$ так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы и так, чтобы число $\displaystyle 4$ было в угловой клетке?

Варианты ответов:

нет
да

Задание 10:

Можно ли разрезать фигуру по линиям на две такие части, из которых складывается квадрат?

Варианты ответов:

нет
да

20 урок


Модули и параметры


Решение уравнений


$\displaystyle 1)$ Сколько решений имеет уравнение $\displaystyle |x|=a$ в зависимости от $\displaystyle a$?

Решение:

Если $\displaystyle a>0$ - два решения $\displaystyle x=a$ и $\displaystyle x=-a$;

если $\displaystyle a=0$ - одно решение $\displaystyle x=0$;

если $\displaystyle a<0$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a>0$ - два; если $\displaystyle a=0$ - одно; если $\displaystyle a<0$ - решений нет.


$\displaystyle 2)$ Сколько решений имеет уравнение $\displaystyle |x-1|=2a$ в зависимости от $\displaystyle a$?

Решение:

Если $\displaystyle a>0$ - два решения $\displaystyle x=2a+1$ и $\displaystyle x=-2a+1$;

если $\displaystyle a=0$ - одно решение $\displaystyle x=1$;

если $\displaystyle a<0$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a>0$ - два; если $\displaystyle a=0$ - одно; если $\displaystyle a<0$ - решений нет.


$\displaystyle 3)$ Для каждого значения параметра $\displaystyle a$ определите число корней уравнения $\displaystyle |5x-3|-7=a$.

Решение:

$\displaystyle |5x-3|=a+7$

Если $\displaystyle a=-7$ - одно решение $\displaystyle x=\frac {3}{5}$;

если $\displaystyle a>-7$ - два решения $\displaystyle x=\frac {a+10}{5}$ и $\displaystyle x=\frac {-a-4}{5}$;

если $\displaystyle a<-7$ - решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a=-7$ - одно решение; если $\displaystyle a>-7$ - два решения; если $\displaystyle a<-7$ - решений нет.


Учимся решать задачи


Кендоку

Разгадайте кендоку: заполните клетки числами от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 5$ включительно так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа не повторялись. Число, которое записано в углу каждого выделенного блока - это результат сложения, вычитания, умножения или деления в этом блоке. Числа внутри блока могут повторяться.

Решение:

Задание 1:

Сколько решений имеет уравнение $\displaystyle |x+3|=5a$ в зависимости от $\displaystyle a$?

Варианты ответов:

два решения
одно решение
решений нет
если $\displaystyle a>0$ - два; если $\displaystyle a=0$ - одно; если $\displaystyle a<0$ - решений нет
если $\displaystyle a<0$ - два; если $\displaystyle a=0$ - одно; если $\displaystyle a>0$ - решений нет

Задание 2:

Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за $\displaystyle 2$ ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за $\displaystyle 6$ ч. Сколько времени затратит лодка на тот же путь по течению реки? Дайте ответ в часах.

Варианты ответов:

$\displaystyle 1,\!5$
$\displaystyle 1$
$\displaystyle 4$
$\displaystyle 2,\!5$
$\displaystyle 3$

Задание 3:

Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна $\displaystyle 271$. Назовите меньшее число.

Задание 4:

Отец старше сына в $\displaystyle 10$ раз. Через $\displaystyle 5$ лет он будет старше сына в $\displaystyle 5$ раз. Сколько сейчас лет сыну? Дайте ответ в годах.

Задание 5:

Периметр квадрата уменьшили на $\displaystyle 30\%$. На сколько процентов уменьшилась площадь квадрата?

Варианты ответов:

на $\displaystyle 45 \%$
на $\displaystyle 60 \%$
на $\displaystyle 15 \%$
на $\displaystyle 30 \%$
на $\displaystyle 51 \%$

Задание 6:

Решите систему уравнений:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 2x+y+z=8\\ \displaystyle x+2y+z=9\\ \displaystyle x+y+2z=11 \end{cases}$

Назовите значение $\displaystyle z$.

Задание 7:

Сколько решений имеет система уравнений?

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 8x=2(y+1),\\ \displaystyle 4x-y=1 \end{cases}$

Варианты ответов:

бесконечное множество решений
единственное решение
решений нет

Задание 8:

Отрезок $\displaystyle 50$ см разделён на четыре неравных отрезка. Расстояние между серединами средних отрезков равно $\displaystyle 10$ см. Найдите расстояние между серединами крайних отрезков. Дайте ответ в сантиметрах.

Задание 9:

Какая часть фигуры закрашена?

Варианты ответов:

$\displaystyle \frac{3}{8}$
$\displaystyle \frac{1}{4}$
$\displaystyle \frac{7}{30}$
$\displaystyle \frac{5}{16}$
$\displaystyle \frac{9}{32}$

Задание 10:

Разгадайте кендоку: заполните клетки числами от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 5$ включительно так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа не повторялись. Число, которое записано в углу каждого выделенного блока - это результат сложения, вычитания, умножения или деления в этом блоке. Числа внутри блока могут повторяться.

Какое число будет записано в нижней строке в угловой клетке справа?

Как записаться на курс

Для того, чтобы записаться на курс, нужно зарегистрироваться, войти в МетаШколу, перейти по ссылке «Все курсы, оплата». Cпособы оплаты.