Примеры уроков. Летний интенсив по математике — краткое повторение кружка 9 класса

Модуль числа

Модулем (абсолютной величиной) числа $\displaystyle a$ называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.

$\displaystyle \begin{equation*} \lvert a\rvert= \begin{cases} \displaystyle a,& \ a\geqslant0\\ \displaystyle -a,& \ a<0\end{cases} \end{equation*}$

Геометрический смысл модуля

Модулем (абсолютной величиной) числа $\displaystyle a$ называется расстояние от точки, изображающей число $\displaystyle a$ на числовой прямой, до точки $\displaystyle 0$.

$\displaystyle |3| = 3$

$\displaystyle |0| = 0$

$\displaystyle |-3| = 3$

Модуль любого числа $\displaystyle a$ есть неотрицательное число: $\displaystyle |a|≥0$.

Задача $\displaystyle 1$

Решите уравнение: $\displaystyle |x-9|=x+3$.

Решение.

Уравнение равносильно системе из неравенства и совокупности двух уравнений:

$\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle x+3≥0;\\ \displaystyle [x-9=x+3;\ x-9=-x-3.\end{cases} \end{equation*}$

Первое уравнение совокупности $\displaystyle x-9=x+3$ решений не имеет.

$\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle x≥-3;\\ \displaystyle 2x=6;\end{cases} \end{equation*}$

$\displaystyle x=3.$

Ответ: $\displaystyle 3$.

Задача $\displaystyle 2$

Решите уравнение: $\displaystyle ||x-3|+5|=7$.

Решение.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\displaystyle [|x-3|+5=7;\ |x-3|+5=-7;$

$\displaystyle [|x-3|=2;\ |x-3|=-12.$

Второе уравнение совокупности $\displaystyle |x-3|=-12$ решений не имеет.

Уравнение $\displaystyle |x-3|=2$ равносильно совокупности двух уравнений:

$\displaystyle [x-3=2;\ x-3=-2;$

$\displaystyle [x=5;\ x=1.$

Корни уравнения: $\displaystyle 1;\ 5$.

Ответ: $\displaystyle 1;\ 5$.

Задача $\displaystyle 3$

Решите уравнение: $\displaystyle |||x|-1|-2|=3$.

Решение.

Уравнение $\displaystyle |||x|-1|-2|=3$ равносильно совокупности двух уравнений:

$\displaystyle [||x|-1|-2=3;\ ||x|-1|-2=-3;$

$\displaystyle [||x|-1|=5;\ ||x|-1|=-1.$

Второе уравнение совокупности $\displaystyle ||x|-1|=-1$ решений не имеет.

Уравнение $\displaystyle ||x|-1|=5$ равносильно совокупности двух уравнений:

$\displaystyle [|x|-1=5;\ |x|-1=-5;$

$\displaystyle [|x|=6;\ |x|=-4.$

Второе уравнение совокупности $\displaystyle |x|=-4$ решений не имеет.

Корни уравнения $\displaystyle |x|=6$: $\displaystyle -6; 6$.

Ответ: $\displaystyle -6; 6$.

Задача $\displaystyle 4$

Решите уравнение: $\displaystyle |x^2-4|+|2-x|=0.$

Решение.

Уравнение равносильно системе:

$\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle |x^2-4|=0;\\ \displaystyle |2-x|=0;\end{cases} \end{equation*}$

$\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle x^2-4=0;\\ \displaystyle 2-x=0.\end{cases} \end{equation*}$

Корни первого уравнения системы $\displaystyle x^2-4=0$: $\displaystyle -2; 2.$

Корень второго уравнения системы $\displaystyle 2-x=0$: $\displaystyle 2$.

Корень уравнения $\displaystyle |x^2-4|+|2-x|=0$: $\displaystyle 2$.

Ответ: $\displaystyle 2$.

Задача $\displaystyle 5$

Решите уравнение: $\displaystyle |x+7|-2x=|x-5|$.

Решение.

Выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в нуль при $\displaystyle x=-7$ и при $\displaystyle x=5$.

Точки $\displaystyle -7$ и $\displaystyle 5$ разбивают числовую ось на три промежутка: $\displaystyle (-∞; -7);\ [-7; 5);\ [5; +∞)$.

$\displaystyle 1)$ На промежутке $\displaystyle (-∞; -7)\ x+7<0,\ x-5<0$:

$\displaystyle -x-7-2x=-x+5$;

$\displaystyle -2x=12$;

$\displaystyle x=-6$.

Это значение не принадлежит промежутку $\displaystyle (-∞; -7)$, на этом промежутке решений нет.

$\displaystyle 2)$ На промежутке $\displaystyle [-7; 5)\ x+7≥0,\ x-5<0$:

$\displaystyle x+7-2x=-x+5$;

$\displaystyle 2x-2x=-2$.

Решений нет.

$\displaystyle 3)$ На промежутке $\displaystyle [5; +∞)\ x+7≥0,\ x-5≥0$:

$\displaystyle x+7-2x=x-5$;

$\displaystyle -2x=-12$;

$\displaystyle x=6$.

Это значение принадлежит промежутку $\displaystyle [5; +∞)$.

Корень уравнения: $\displaystyle 6$.

Ответ: $\displaystyle 6$.

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Задача $\displaystyle 1$

Цифру $\displaystyle 3$, с которой начиналось пятизначное число, перенесли в конец числа. В результате получилось число, которое на $\displaystyle 37782$ больше. Какое число было первоначально?

Решение.

Пусть первоначальное число $\displaystyle 3ABCD$, где $\displaystyle A$ — цифра единиц тысяч, $\displaystyle B$ — цифра сотен, $\displaystyle C$ — цифра десятков, $\displaystyle D$ — цифра единиц.

После переноса получилось число $\displaystyle ABCD3$.

$\displaystyle ABCD3 - 3ABCD = 37782$;

$\displaystyle D = 1;\ C = 3;\ B = 5;\ A = 7$;

$\displaystyle 75313 - 37531 = 37782$.

Первоначально было число $\displaystyle 37531$.

Ответ: $\displaystyle 37531$.

Задача $\displaystyle 2$

Решить неравенство: $\displaystyle |4x-3|≥|2x+3|$.

Решение.

Обе части неравенства неотрицательны, возводим в квадрат:

$\displaystyle 16x^2-24x+9≥4x^2+12x+9;$

$\displaystyle 12x^2-36x≥0;$

$\displaystyle x(x-3)≥0;$

$\displaystyle x≤0;\ x≥3$.

Ответ: $\displaystyle x≤0;\ x≥3$.

Задача $\displaystyle 3$

Решить уравнение: $\displaystyle (a^2-4a-5)·x=a^2-5a-6$.

Решение.

$\displaystyle (a^2-4a-5)·x=a^2-5a-6$;

$\displaystyle (a+1)(a-5)·x=(a+1)(a-6)$.

Если $\displaystyle a≠-1,\ a≠5$, то $\displaystyle x=\frac{a-6}{a-5}$;

если $\displaystyle a=-1$, то $\displaystyle 0·x=0,\ x$ — любое число;

если $\displaystyle a=5$, то $\displaystyle 0·x=-6$, решений нет.

Ответ: если $\displaystyle a≠-1,\ a≠5$, то $\displaystyle x=\frac{a-6}{a-5}$;

если $\displaystyle a=-1$, то $\displaystyle x$ — любое число;

если $\displaystyle a=5$, то решений нет.

Задача $\displaystyle 4$

В библиотеке читателю предложили на выбор $\displaystyle 10$ книг и $\displaystyle 6$ журналов. Сколькими способами он может выбрать из них $\displaystyle 4$ книги и $\displaystyle 3$ журнала?

Решение.

Сочетания без повторений из $\displaystyle 12$ по $\displaystyle 4$ умножить на сочетания без повторений из $\displaystyle 5$ по $\displaystyle 3$:

$\displaystyle ((10 · 9 · 8 · 7) : (1 · 2 · 3 · 4)) ·\ $

$\displaystyle ·\ ((6 · 5 · 4) : (1 · 2 · 3)) =$

$\displaystyle =210 \cdot 20= 4200$ способов.

Ответ: $\displaystyle 4200$ способов.

Задача $\displaystyle 5$

Решите систему уравнений и назовите значение $\displaystyle z$:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 2x+y+z=7,\\ \displaystyle x+2y+z=8. \end{cases}$

Известно, что $\displaystyle x,\ y,\ z$ - натуральные числа.

Решение.

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 2x+y+z=7,\\ \displaystyle x+2y+z=8. \end{cases}$

Вычесть из первого уравнения второе, получится уравнение с двумя неизвестными:

$\displaystyle x-y=-1$

$\displaystyle y=x+1$

Перебором натуральных значений находим $\displaystyle x,\ y,\ z$:

$\displaystyle (1;\ 2;\ 3)$; $\displaystyle z=3$.

Ответ: $\displaystyle 3$.

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов: