Примеры уроков. Алгебра 9 класс (углублённый уровень)

Задача $\displaystyle 1$

Сколько натуральных чисел, которые не меньше $\displaystyle 5$ и не больше, чем $\displaystyle n$? Известно, что $\displaystyle n$ больше, чем $\displaystyle 5$.

Решение.

От $\displaystyle 1$ до $\displaystyle n$ включительно — $\displaystyle n$ чисел.

Из них $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4$ не подходят, по условию не меньше $\displaystyle 5$, тогда чисел будет $\displaystyle n - 4$.

Ответ: $\displaystyle n - 4$.

Задача $\displaystyle 2$

Сколько различных пятизначных чисел, у которых первая и последняя цифры чётные?

Решение.

Первая цифра может быть любой из четырёх $\displaystyle (2,\ 4,\ 6,\ 8)$,

вторая — любой из десяти $\displaystyle (0,\ 1,\ 2,\ …,\ 9)$,

третья — любой из десяти $\displaystyle (0,\ 1,\ 2,\ …,\ 9)$,

четвёртая — любой из десяти $\displaystyle (0,\ 1,\ 2,\ …,\ 9)$,

пятая — любой из пяти $\displaystyle (0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8)$.

Перемножить возможные варианты постановки каждой цифры:

$\displaystyle 4 · 10 · 10 · 10 · 5 = 20000$ чисел.

Ответ: $\displaystyle 20000$.

Задача $\displaystyle 3$

Записаны одно за другим подряд нечётные числа натурального ряда $\displaystyle 1357911131517\ …$ Какая цифра будет записана на $\displaystyle 1468$ месте?

Решение.

Первые $\displaystyle 5$ мест занимают однозначные нечётные числа.

Нечётных двузначных чисел — $\displaystyle 45$, каждое из них записывается двумя цифрами, для записи всех нечётных двузначных потребуется $\displaystyle 90$ цифр.

Нечётных трёхзначных чисел — $\displaystyle 450$, каждое из них записывается тремя цифрами, для записи всех нечётных трёхзначных потребуется $\displaystyle 1350$ цифр.

$\displaystyle 5 + 90 : 2 · 2 + 900 : 2 · 3 = 1445$ — столько цифр для записи однозначных, двузначных и трёхзначных.

$\displaystyle 1468 - 1445 = 23$ — столько цифр для записи нечётных четырёхзначных чисел;

$\displaystyle 1001,\ 1003,\ 1005,\ 1007,\ 1009,\ 1011$;

третья цифра числа $\displaystyle 1011$ — это цифра $\displaystyle 1$;

на $\displaystyle 1468$ месте цифра $\displaystyle 1$.

Ответ: $\displaystyle 1$.

Задача $\displaystyle 4$

В трёхзначном числе зачеркнули цифру сотен, затем полученное двузначное число умножили на $\displaystyle 5$ и получили вновь первоначальное трёхзначное число. Назовите первоначальное трёхзначное число. Сколько решений имеет задача?

Решение.

Пусть первоначальное трёхзначное число $\displaystyle 100a + 10b + c$, где $\displaystyle a$ — цифра сотен, $\displaystyle b$ — цифра десятков, $\displaystyle c$ — цифра единиц.

$\displaystyle 100a + 10b + c = 5(10b + c)$;

$\displaystyle 100a = 40b + 4c$;

$\displaystyle 25a = 10b + c$;

$\displaystyle a = 1;\ b = 2;\ c = 5$;

$\displaystyle a = 2;\ b = 5;\ c = 0$;

$\displaystyle a = 3;\ b = 7;\ c = 5$.

Три числа: $\displaystyle 125,\ 250,\ 375$.

Ответ: $\displaystyle 3$.

Задача $\displaystyle 5$

Найдите двузначное число, которое от перестановки его цифр увеличивается в $\displaystyle 4,\!5$ раза.

Решение.

Пусть двузначное число $\displaystyle 10a + b$, где $\displaystyle a$ — цифра десятков, $\displaystyle b$ — цифра единиц.

$\displaystyle 4,\!5(10a + b) = 10b + a$;

$\displaystyle 45a + 4,\!5b = 10b + a$;

$\displaystyle 90a + 9b = 20b + 2a$;

$\displaystyle 88a = 11b$;

$\displaystyle 8a = b$;

$\displaystyle a = 1;\ b = 8$.

Это число $\displaystyle 18$.

Ответ: $\displaystyle 18$.

Импликация высказываний

Импликация — это новое высказывание, образованное из данных высказываний А и В при помощи слов "если …, то …".

Например: "Если данное число делится на $\displaystyle 2$ и на $\displaystyle 3$, то оно делится на $\displaystyle 6$.

Высказывание А называют условием, а высказывание В — заключением.

В рассмотренном примере условием является высказывание "данное число делится на $\displaystyle 2$ и на $\displaystyle 3$", заключением — "число делится на $\displaystyle 6$".

Импликация считается ложным высказыванием только в том случае, когда условие истинно, а заключение ложно.

Например:

$\displaystyle 1)$ если число $\displaystyle 12$ делится на $\displaystyle 2$ и на $\displaystyle 3$, то оно делится на $\displaystyle 6$ (истинное высказывание);

$\displaystyle 2)$ если число $\displaystyle 8$ делится на $\displaystyle 2$, то оно делится на $\displaystyle 5$ (ложное высказывание);

$\displaystyle 3)$ если число $\displaystyle 10$ делится на $\displaystyle 3$, то оно делится на $\displaystyle 4$ (истинное высказывание).

Задача $\displaystyle 1$

Какие из данных высказываний истинные:

$\displaystyle 1)$ если $\displaystyle 5$ и $\displaystyle 6$ делители числа $\displaystyle 120$, то и $\displaystyle 30$ делитель числа $\displaystyle 120$;

$\displaystyle 2)$ если $\displaystyle 4$ и $\displaystyle 7$ делители числа $\displaystyle 140$, то и $\displaystyle 14$ делитель числа $\displaystyle 140$;

$\displaystyle 3)$ если $\displaystyle 5$ и $\displaystyle 8$ делители числа $\displaystyle 160$, то и $\displaystyle 6$ делитель числа $\displaystyle 160$;

$\displaystyle 4)$ если $\displaystyle 7$ и $\displaystyle 9$ делители числа $\displaystyle 180$, то и $\displaystyle 8$ делитель числа $\displaystyle 180$?

Решение.

$\displaystyle 1)$ Условие истинно, заключение истинно, высказывание истинное;

$\displaystyle 2)$ условие истинно, заключение истинно, высказывание истинное;

$\displaystyle 3)$ условие истинно, заключение ложно, высказывание ложное;

$\displaystyle 4)$ условие ложно, заключение ложно, высказывание истинное.

Истинные высказывания: $\displaystyle 1,\ 2,\ 4$.

Ложное высказывание: $\displaystyle 3$.

Ответ: $\displaystyle 1,\ 2,\ 4$.

Задача $\displaystyle 2$

Таня, Маша и Наташа решали задачу, и одна из них решила эту задачу. На вопрос учителя, кто решил задачу, было три ответа.

Правильный ответ: если решила Таня, то решила и Маша.

Правильный ответ: если решила Маша, то решила и Наташа.

Неправильный ответ: если решила Наташа, то решила и Таня.

Кто из них решил задачу?

Решение.

Правильные ответы — условия ложны, по условию только одна из них решила задачу, импликация истинна.

Неправильный ответ: если решила Наташа, то решила и Таня.

Условие истинно — решила Наташа, а заключение ложно, Таня не решила.

Ответ: Наташа.

Задача $\displaystyle 3$

Андрей, Пётр и Иван работают строителем, токарем и врачом.

$\displaystyle 1)$ Если Иван — токарь, то Пётр — врач.

$\displaystyle 2)$ Если Иван — врач, то Пётр — строитель.

$\displaystyle 3)$ Если Пётр — не токарь, то и Андрей — не токарь.

$\displaystyle 4)$ Если Андрей — строитель, то Иван — врач.

Кто кем работает?

Решение.

Допустим, в высказывании $\displaystyle 1$ условие истинное — Иван — токарь, тогда Пётр — врач, а Андрей — строитель. Противоречие с высказыванием $\displaystyle 4$. Значит, Иван — не токарь.

Допустим, в высказывании $\displaystyle 2$ условие истинное — Иван — врач, тогда Пётр — строитель, а Андрей — токарь. Противоречие с высказыванием $\displaystyle 3$. Значит, Иван — не врач.

Иван — не токарь и не врач, тогда Иван — строитель.

Допустим, в высказывании $\displaystyle 3$ условие истинное, тогда Пётр — не токарь и Андрей — не токарь. Противоречие. Тогда в высказывание $\displaystyle 3$ условие ложно, Пётр — токарь, а Андрей — врач.

Ответ: Андрей — врач, Пётр — токарь, Иван — строитель.

Задача $\displaystyle 4$

Аня, Оля, Таня, Валя участвовали в соревнованиях и заняли первых четыре места. Известно, что:

$\displaystyle 1)$ если Аня не первая, то Валя не вторая;

$\displaystyle 2)$ если Оля вторая или третья, то Аня первая;

$\displaystyle 3)$ если Оля не третья, то Валя четвёртая;

$\displaystyle 4)$ если Таня не первая, то Оля первая;

$\displaystyle 5)$ если Таня вторая, то Оля не первая.

Кто какое место занял?

Решение.

Пусть Аня первая, тогда противоречие с четвёртым условием.

Пусть Аня не первая, тогда из второго условия Оля не вторая и не третья. Из третьего условия — Валя четвёртая, значит, Оля первая.

Из пятого условия — если Оля первая, то Таня не вторая. Тогда Таня третья, а Аня вторая. Валя четвёртая, Оля первая, Таня третья, Аня вторая.

Ответ: $\displaystyle 1$ место — Оля, $\displaystyle 2$ место — Аня, $\displaystyle 3$ место — Таня, $\displaystyle 4$ место — Валя.

Задача $\displaystyle 5$

А, В, С — жители острова рыцарей, лжецов и хитрецов. Один из них рыцарь, другой лжец, третий хитрец.

А говорит: "Я хитрец".

В говорит: "Это правда".

С говорит: "Я не хитрец".

Кем являются А, В и С?

Решение.

А не может быть рыцарем, рыцарь не может сказать: "Я хитрец".

Рассмотрим два случая.

$\displaystyle 1)$ Пусть А — хитрец. Тогда В — рыцарь, С — лжец. Но в этом случае утверждение С истинно, что невозможно.

$\displaystyle 2)$ Пусть А — лжец. Тогда В — хитрец, С — рыцарь.

Ответ: А — лжец, В — хитрец, С — рыцарь.

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов: