Примеры уроков. Алгебра 8 класс (углублённый уровень)

Натуральный ряд

Цифры десятичной системы счисления: $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$.

Натуральные числа — для счёта предметов.

Это числа $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \dots$

Ряд натуральных чисел бесконечен.

Однозначные натуральные числа: $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$.

Двузначные натуральные числа: $\displaystyle 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ ..., 99$.

Трёхзначные натуральные числа: $\displaystyle 100,\ 101,\ 102,\ 103,\ ..., 999$.

Четырёхзначные натуральные числа: $\displaystyle 1000,\ 1001,\ 1002,\ 1003,\ ..., 9999$.

$\displaystyle 9$ однозначных натуральных чисел.

$\displaystyle 90$ двузначных натуральных чисел.

$\displaystyle 900$ трёхзначных натуральных чисел.

$\displaystyle 9000$ четырёхзначных натуральных чисел и так далее.

Для записи всех однозначных натуральных чисел потребуется $\displaystyle 9$ цифр.

Для записи всех двузначных натуральных чисел: $\displaystyle 90 \cdot 2=180$ цифр.

Для записи всех трёхзначных натуральных чисел: $\displaystyle 900 \cdot 3=2700$ и так далее.

Число $\displaystyle 10$ — основание системы счисления.

Счёт идёт десятками, сотнями, тысячами и так далее.

Единица каждого следующего разряда (справа налево) в $\displaystyle 10$ раз больше единицы предыдущего разряда.

Задача $\displaystyle 1$

Сколько чётных натуральных чисел между числами $\displaystyle 135$ и $\displaystyle 1357$?

Решение.

Натуральные числа между числами $\displaystyle 135$ и $\displaystyle 1357$:

$\displaystyle 136,\ 137,\ 138,\ …,\ 1356$.

Это числа от $\displaystyle 136$ до $\displaystyle 1356$ включительно.

Чтобы узнать, сколько таких чисел, надо из наибольшего из них вычесть первые $\displaystyle 135$ чисел: $\displaystyle 1356 - 135 = 1221$.

В ряду от $\displaystyle 136$ до $\displaystyle 1356$ включительно чётных на $\displaystyle 1$ больше, чем нечётных.

$\displaystyle 1221 : 2 = 610$ (ост. $\displaystyle 1$).

Нечётных чисел — $\displaystyle 610$, а чётных — $\displaystyle 611$.

Ответ: $\displaystyle 611$.

Задача $\displaystyle 2$

Записаны одно за другим подряд нечётные числа натурального ряда $\displaystyle 1357911131517 …$ Какая цифра будет записана на $\displaystyle 1456$ месте?

Решение.

Первые $\displaystyle 5$ мест занимают однозначные нечётные числа.

Нечётных двузначных чисел — $\displaystyle 45$, каждое из них записывается двумя цифрами, для записи всех нечётных двузначных потребуется $\displaystyle 90$ цифр.

Нечётных трёхзначных чисел — $\displaystyle 450$, каждое из них записывается тремя цифрами, для записи всех нечётных трёхзначных потребуется $\displaystyle 1350$ цифр.

$\displaystyle 5 + 90 : 2 · 2 + 900 : 2 · 3 = 1445$ — столько цифр для записи однозначных, двузначных и трёхзначных.

$\displaystyle 1456 - 1445 = 11$ — столько цифр для записи нечётных четырёхзначных чисел;

$\displaystyle 11 : 4 = 2$ (ост. $\displaystyle 3$);

первое и второе нечётные четырёхзначные будут записаны полностью, а третье — только первые три цифры; $\displaystyle 1001,\ 1003,\ 1005$;

третья цифра числа $\displaystyle 1005$ — это цифра $\displaystyle 0$;

на $\displaystyle 1456$ месте цифра $\displaystyle 0$.

Ответ: $\displaystyle 0$.

Задача $\displaystyle 3$

Сколько всего цифр пришлось бы написать, если выписать друг за другом все числа от $\displaystyle 2$ до $\displaystyle 21212$ включительно?

Решение.

Для записи однозначных чисел потребуется $\displaystyle 8$ цифр.

Для записи двузначных чисел $\displaystyle 2 · 90 = 180$ цифр.

Для записи трёхзначных чисел $\displaystyle 3 · 900 = 2700$ цифр.

Для записи четырёхзначных чисел $\displaystyle 4 · 9000 = 36000$ цифр.

Для записи пятизначных чисел $\displaystyle 5 · (21212 - 9999) = 56065$ цифр.

Всего: $\displaystyle 8 + 180 + 2700 + 36000 + 56065 = 94953$ цифры.

Ответ: $\displaystyle 94953$.

Задача $\displaystyle 4$

Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Назовите сумму цифр этого числа.

Решение.

Пусть $\displaystyle a$ — первая цифра числа, $\displaystyle b$ — вторая цифра числа.

$\displaystyle a = 10a + b - 10b - a$;

$\displaystyle 8a = 9b$;

$\displaystyle a = 9;\ b = 8$.

Это число: $\displaystyle 98$.

Сумма цифр этого числа: $\displaystyle 9 + 8 = 17$.

Ответ: $\displaystyle 17$.

Задача $\displaystyle 5$

Существует ли двузначное число, которое в $\displaystyle 6$ раз больше суммы его цифр?

Решение.

Пусть $\displaystyle 10a + b$ — двузначное число, где $\displaystyle a$ — цифра десятков, $\displaystyle b$ — цифра единиц.

$\displaystyle 10a + b = 6(a + b)$;

$\displaystyle 10a + b = 6a + 6b$;

$\displaystyle 4a = 5b$;

$\displaystyle a = 5,\ b = 4$.

Число $\displaystyle 54$ в $\displaystyle 6$ раз больше суммы его цифр.

Ответ: да.

Импликация высказываний

Импликация — это новое высказывание, образованное из данных высказываний А и В при помощи слов "если …, то …".

Например: "Если данное число делится на $\displaystyle 2$ и на $\displaystyle 3$, то оно делится на $\displaystyle 6$.

Высказывание А называют условием, а высказывание В — заключением.

В рассмотренном примере условием является высказывание "данное число делится на $\displaystyle 2$ и на $\displaystyle 3$", заключением — "число делится на $\displaystyle 6$".

Импликация считается ложным высказыванием только в том случае, когда условие истинно, а заключение ложно.

Например:

$\displaystyle 1)$ если число $\displaystyle 12$ делится на $\displaystyle 2$ и на $\displaystyle 3$, то оно делится на $\displaystyle 6$ (истинное высказывание);

$\displaystyle 2)$ если число $\displaystyle 8$ делится на $\displaystyle 2$, то оно делится на $\displaystyle 5$ (ложное высказывание);

$\displaystyle 3)$ если число $\displaystyle 10$ делится на $\displaystyle 3$, то оно делится на $\displaystyle 4$ (истинное высказывание).

Задача $\displaystyle 1$

Есть ли среди данных высказываний истинные?

$\displaystyle 1)$ Если $\displaystyle 37$ простое число, то и $\displaystyle 73$ простое число;

$\displaystyle 2)$ если $\displaystyle 43$ простое число, то и $\displaystyle 34$ простое число;

$\displaystyle 3)$ если $\displaystyle 57$ простое число, то и $\displaystyle 75$ простое число;

$\displaystyle 4)$ если $\displaystyle 61$ простое число, то и $\displaystyle 16$ простое число.

Решение.

Импликация считается ложным высказыванием только в том случае, когда условие истинно, а заключение ложно.

Истинные высказывания: $\displaystyle 1$ и $\displaystyle 3$.

Ложные высказывания: $\displaystyle 2$ и $\displaystyle 4$.

Ответ: да.

Задача $\displaystyle 2$

Ваня, Коля и Дима решали задачу, и один из них решил эту задачу. На вопрос учителя, кто решил задачу, было два ответа.

Правильный ответ: если решил Коля, то решил и Дима.

Неправильный ответ: если решил Ваня, то решил и Коля.

Кто из них решил задачу?

Решение.

Неправильный ответ: если решил Ваня, то решил и Коля.

Условие истинно — решил Ваня, а заключение ложно, Коля не решил.

Правильный ответ: если решил Коля, то решил и Дима.

Условие ложно, импликация истинна.

Ответ: Ваня.

Задача $\displaystyle 3$

В доме живут Аня, Оля, Юля, Маша, Света, две из них играют в шашки.

$\displaystyle 1)$ Если Аня играет, то и Оля играет.

$\displaystyle 2)$ Юля и Маша либо обе играют, либо обе не играют.

$\displaystyle 3)$ Хотя бы одна из них играет — Маша или Света.

$\displaystyle 4)$ Ровно одна из них играет — Оля или Юля.

$\displaystyle 5)$ Если Света играет, то Маша и Аня тоже играют.

Кто из них играет в шашки?

Решение.

Допустим, в высказывании $\displaystyle 1$ условие истинно, Аня играет, тогда и Оля играет. По высказыванию $\displaystyle 3$ — хотя бы одна из них играет — Маша или Света, и по условию играют две девочки. Возникает противоречие, тогда Аня не играет.

Рассмотрим высказывание $\displaystyle 2$. Допустим, Юля и Маша обе играют. Противоречий нет — Юля и Маша играют. Допустим, Юля и Маша обе не играют, противоречия с высказываниями $\displaystyle 3$ и $\displaystyle 5$.

Аналогично рассматривая высказывания $\displaystyle 3,\ 4$ и $\displaystyle 5$, получаем ответ: играют Юля и Маша.

Ответ: Юля и Маша.

Задача $\displaystyle 4$

Маша, Даша и Катя играли и одна из них случайно разбила чашку.

Маша сказала: "Это Катя разбила чашку".

Даша сказал: "Это не я разбила чашку".

Одно из этих утверждений верное, а другое — нет.

Кто разбил чашку?

Решение.

Если Маша сказала правду, то тогда и Даша сказала правду, противоречие.

Значит, Маша сказала неправду, а Даша правду.

Чашку разбила не Катя и не Даша, тогда Маша.

Чашку разбила Маша.

Ответ: Маша.

Задача $\displaystyle 5$

Коля, Саша, Петя и Витя участвовали в лыжных гонках и заняли первые четыре места. На вопрос, кто какое место занял, они ответили так:

Коля: "Я не был ни первым, ни последним".

Саша: "Я не был первым".

Петя: "Я был первым".

Витя: "Я был последним".

Трое из них сказали правду, а один неправду.

Кто победил в лыжных гонках?

Решение.

Если Петя сказал неправду, то тогда никто не занял первое место, а это невозможно. Значит, Петя сказал правду, он занял первое место.

Ответ: Петя.

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов: