Примеры уроков. Алгебра 8 класс (углублённый уровень)

Натуральный ряд

Цифры десятичной системы счисления: $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$.

Натуральные числа — для счёта предметов.

Это числа $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \dots$

Ряд натуральных чисел бесконечен.

Однозначные натуральные числа: $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$.

Двузначные натуральные числа: $\displaystyle 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ ..., 99$.

Трёхзначные натуральные числа: $\displaystyle 100,\ 101,\ 102,\ 103,\ ..., 999$.

Четырёхзначные натуральные числа: $\displaystyle 1000,\ 1001,\ 1002,\ 1003,\ ..., 9999$.

$\displaystyle 9$ однозначных натуральных чисел.

$\displaystyle 90$ двузначных натуральных чисел.

$\displaystyle 900$ трёхзначных натуральных чисел.

$\displaystyle 9000$ четырёхзначных натуральных чисел и так далее.

Для записи всех однозначных натуральных чисел потребуется $\displaystyle 9$ цифр.

Для записи всех двузначных натуральных чисел: $\displaystyle 90 \cdot 2=180$ цифр.

Для записи всех трёхзначных натуральных чисел: $\displaystyle 900 \cdot 3=2700$ и так далее.

Число $\displaystyle 10$ — основание системы счисления.

Каждая следующая разрядная единица в $\displaystyle 10$ раз больше предыдущей.

Задача $\displaystyle 1$

Сколько чётных натуральных чисел между числами $\displaystyle 135$ и $\displaystyle 1357$?

Решение.

Натуральные числа между числами $\displaystyle 135$ и $\displaystyle 1357$:

$\displaystyle 136,\ 137,\ 138,\ …,\ 1356$.

Это числа от $\displaystyle 136$ до $\displaystyle 1356$ включительно.

Чтобы узнать, сколько таких чисел, надо из $\displaystyle 1356$ вычесть $\displaystyle 135$:

$\displaystyle 1356 - 135 = 1221$.

В ряду от $\displaystyle 136$ до $\displaystyle 1356$ включительно чётных на $\displaystyle 1$ больше, чем нечётных.

$\displaystyle 1221 : 2 = 610$ (ост. $\displaystyle 1$).

Нечётных чисел — $\displaystyle 610$, а чётных — $\displaystyle 611$.

Ответ: $\displaystyle 611$.

Задача $\displaystyle 2$

Записаны одно за другим подряд нечётные числа натурального ряда $\displaystyle 1357911131517 …$ Какая цифра будет записана на $\displaystyle 1456$ месте?

Решение.

Первые $\displaystyle 5$ мест занимают однозначные нечётные числа.

Нечётных двузначных чисел — $\displaystyle 45$, каждое из них записывается двумя цифрами, для записи всех нечётных двузначных потребуется $\displaystyle 90$ цифр.

Нечётных трёхзначных чисел — $\displaystyle 450$, каждое из них записывается тремя цифрами, для записи всех нечётных трёхзначных потребуется $\displaystyle 1350$ цифр.

$\displaystyle 5 + 90 : 2 · 2 + 900 : 2 · 3 = 1445$ — столько цифр для записи однозначных, двузначных и трёхзначных.

$\displaystyle 1456 - 1445 = 11$ — столько цифр для записи нечётных четырёхзначных чисел;

$\displaystyle 11 : 4 = 2$ (ост. $\displaystyle 3$);

первое и второе нечётные четырёхзначные будут записаны полностью, а третье — только первые три цифры; $\displaystyle 1001,\ 1003,\ 1005$;

третья цифра числа $\displaystyle 1005$ — это цифра $\displaystyle 0$;

на $\displaystyle 1456$ месте цифра $\displaystyle 0$.

Ответ: $\displaystyle 0$.

Задача $\displaystyle 3$

Сколько всего цифр пришлось бы написать, если выписать друг за другом все числа от $\displaystyle 2$ до $\displaystyle 21212$ включительно?

Решение.

Для записи однозначных чисел потребуется $\displaystyle 8$ цифр.

Для записи двузначных чисел $\displaystyle 2 · 90 = 180$ цифр.

Для записи трёхзначных чисел $\displaystyle 3 · 900 = 2700$ цифр.

Для записи четырёхзначных чисел $\displaystyle 4 · 9000 = 36000$ цифр.

Для записи пятизначных чисел $\displaystyle 5 · (21212 - 9999) = 56065$ цифр.

Всего: $\displaystyle 8 + 180 + 2700 + 36000 + 56065 = 94953$ цифры.

Ответ: $\displaystyle 94953$.

Задача $\displaystyle 4$

Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Назовите сумму цифр этого числа.

Решение.

Пусть $\displaystyle a$ — первая цифра числа, $\displaystyle b$ — вторая цифра числа.

$\displaystyle a = 10a + b - 10b - a$;

$\displaystyle 8a = 9b$;

$\displaystyle a = 9;\ b = 8$.

Это число: $\displaystyle 98$.

Сумма цифр этого числа: $\displaystyle 9 + 8 = 17$.

Ответ: $\displaystyle 17$.

Задача $\displaystyle 5$

Существует ли двузначное число, которое в $\displaystyle 6$ раз больше суммы его цифр?

Решение.

Пусть $\displaystyle 10a + b$ — двузначное число, где $\displaystyle a$ — цифра десятков, $\displaystyle b$ — цифра единиц.

$\displaystyle 10a + b = 6(a + b)$;

$\displaystyle 10a + b = 6a + 6b$;

$\displaystyle 4a = 5b$;

$\displaystyle a = 5,\ b = 4$.

Число $\displaystyle 54$ в $\displaystyle 6$ раз больше суммы его цифр.

Ответ: да.

Импликация высказываний

Импликация — это новое высказывание, образованное из данных высказываний А и В при помощи слов "если …, то …".

Например: "Если данное число делится на $\displaystyle 2$ и на $\displaystyle 3$, то оно делится на $\displaystyle 6$".

Высказывание А называют условием, а высказывание В — заключением.

В рассмотренном примере условием является высказывание "данное число делится на $\displaystyle 2$ и на $\displaystyle 3$", заключением — "число делится на $\displaystyle 6$".

Импликация считается ложным высказыванием только в том случае, когда условие истинно, а заключение ложно.

Например:

$\displaystyle 1)$ если число $\displaystyle 12$ делится на $\displaystyle 2$ и на $\displaystyle 3$, то оно делится на $\displaystyle 6$ (истинное высказывание);

$\displaystyle 2)$ если число $\displaystyle 8$ делится на $\displaystyle 2$, то оно делится на $\displaystyle 5$ (ложное высказывание);

$\displaystyle 3)$ если число $\displaystyle 10$ делится на $\displaystyle 3$, то оно делится на $\displaystyle 4$ (истинное высказывание).

Задача $\displaystyle 1$

Есть ли среди данных высказываний истинные?

$\displaystyle 1)$ Если $\displaystyle 37$ простое число, то и $\displaystyle 73$ простое число;

$\displaystyle 2)$ если $\displaystyle 43$ простое число, то и $\displaystyle 34$ простое число;

$\displaystyle 3)$ если $\displaystyle 57$ простое число, то и $\displaystyle 75$ простое число;

$\displaystyle 4)$ если $\displaystyle 61$ простое число, то и $\displaystyle 16$ простое число.

Решение.

Импликация считается ложным высказыванием только в том случае, когда условие истинно, а заключение ложно.

Истинные высказывания: $\displaystyle 1$ и $\displaystyle 3$.

Ложные высказывания: $\displaystyle 2$ и $\displaystyle 4$.

Ответ: да.

Задача $\displaystyle 2$

Ваня, Коля и Дима решали задачу, и один из них решил эту задачу. На вопрос учителя, кто решил задачу, было два ответа.

Правильный ответ: если решил Коля, то решил и Дима.

Неправильный ответ: если решил Ваня, то решил и Коля.

Кто из них решил задачу?

Решение.

Неправильный ответ: если решил Ваня, то решил и Коля.

Условие истинно — решил Ваня, а заключение ложно, Коля не решил.

Правильный ответ: если решил Коля, то решил и Дима.

Условие ложно, импликация истинна.

Ответ: Ваня.

Задача $\displaystyle 3$

В доме живут Аня, Оля, Юля, Маша, Света, две из них играют в шашки.

$\displaystyle 1)$ Если Аня играет, то и Оля играет.

$\displaystyle 2)$ Юля и Маша либо обе играют, либо обе не играют.

$\displaystyle 3)$ Хотя бы одна из них играет — Маша или Света.

$\displaystyle 4)$ Ровно одна из них играет — Оля или Юля.

$\displaystyle 5)$ Если Света играет, то Маша и Аня тоже играют.

Кто из них играет в шашки?

Решение.

Допустим, в высказывании $\displaystyle 1$ условие истинно, Аня играет, тогда и Оля играет. По высказыванию $\displaystyle 3$ — хотя бы одна из них играет — Маша или Света, и по условию играют две девочки. Возникает противоречие, тогда Аня не играет.

Рассмотрим высказывание $\displaystyle 2$. Допустим, Юля и Маша обе играют. Противоречий нет — Юля и Маша играют. Допустим, Юля и Маша обе не играют, противоречия с высказываниями $\displaystyle 3$ и $\displaystyle 5$.

Аналогично рассматривая высказывания $\displaystyle 3,\ 4$ и $\displaystyle 5$, получаем ответ: играют Юля и Маша.

Ответ: Юля и Маша.

Задача $\displaystyle 4$

Маша, Даша и Катя играли и одна из них случайно разбила чашку.

Маша сказала: "Это Катя разбила чашку".

Даша сказала: "Это не я разбила чашку".

Одно из этих утверждений верное, а другое — нет.

Кто разбил чашку?

Решение.

Если Маша сказала правду, то тогда и Даша сказала правду, противоречие.

Значит, Маша сказала неправду, а Даша правду.

Чашку разбила не Катя и не Даша, тогда Маша.

Чашку разбила Маша.

Ответ: Маша.

Задача $\displaystyle 5$

Коля, Саша, Петя и Витя участвовали в лыжных гонках и заняли первые четыре места. На вопрос, кто какое место занял, они ответили так:

Коля: "Я не был ни первым, ни последним".

Саша: "Я не был первым".

Петя: "Я был первым".

Витя: "Я был последним".

Трое из них сказали правду, а один неправду.

Кто победил в лыжных гонках?

Решение.

Если Петя сказал неправду, то тогда Петя не первый, Саша не первый, Коля не первый, Витя последний. Получается, что первого места некому занять. Значит, Петя сказал правду, он занял первое место.

Ответ: Петя.