Примеры уроков. Алгебра 7 класс (углублённый уровень)

Натуральный ряд

Цифры десятичной системы счисления: $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$.

Натуральные числа — для счёта предметов.

Это числа $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \dots$

Ряд натуральных чисел бесконечен.

Однозначные натуральные числа: $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$.

Двузначные натуральные числа: $\displaystyle 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ ..., 99$.

Трёхзначные натуральные числа: $\displaystyle 100,\ 101,\ 102,\ 103,\ ..., 999$.

Четырёхзначные натуральные числа: $\displaystyle 1000,\ 1001,\ 1002,\ 1003,\ ..., 9999$.

$\displaystyle 9$ однозначных натуральных чисел.

$\displaystyle 90$ двузначных натуральных чисел.

$\displaystyle 900$ трёхзначных натуральных чисел.

$\displaystyle 9000$ четырёхзначных натуральных чисел и так далее.

Для записи всех однозначных натуральных чисел потребуется $\displaystyle 9$ цифр.

Для записи всех двузначных натуральных чисел: $\displaystyle 90 \cdot 2=180$ цифр.

Для записи всех трёхзначных натуральных чисел: $\displaystyle 900 \cdot 3=2700$ и так далее.

Число $\displaystyle 10$ — основание системы счисления.

Счёт идёт десятками, сотнями, тысячами и так далее.

Единица каждого следующего разряда (справа налево) в $\displaystyle 10$ раз больше единицы предыдущего разряда.

Задача $\displaystyle 1$

Сколько всего цифр пришлось бы написать, если выписать друг за другом все числа от $\displaystyle 60$ до $\displaystyle 1060$ включительно?

Решение.

Для записи двузначных чисел: $\displaystyle 2 · (99 - 59) = 80$ цифр.

Для записи трёхзначных чисел: $\displaystyle 3 · 900 = 2700$ цифр.

Для записи четырёхзначных чисел: $\displaystyle 4 · (1060 - 999) = 244$ цифры.

Всего: $\displaystyle 80 + 2700 + 244 = 3024$ цифры.

Ответ: $\displaystyle 3024$.

Задача $\displaystyle 2$

Найдите двузначное число, которое в $\displaystyle 3$ раза больше утроенной суммы своих цифр.

Решение.

Пусть $\displaystyle 10a + b$ — двузначное число, где $\displaystyle a$ — цифра десятков, $\displaystyle b$ — цифра единиц.

Двузначное число в $\displaystyle 3$ раза больше утроенной суммы своих цифр.

$\displaystyle 10a + b = 3 · 3(a + b)$;

$\displaystyle 10a + b = 9 · (a + b)$;

$\displaystyle 10a + b = 9a + 9b$;

$\displaystyle a = 8b$;

$\displaystyle a = 8;\ b = 1$.

Это число $\displaystyle 81$.

Ответ: $\displaystyle 81$.

Задача $\displaystyle 3$

В трёхзначном числе вычеркнули вторую цифру. Получилось двузначное число, в $\displaystyle 9$ раз меньше трёхзначного. Чему равна сумма цифр трёхзначного числа?

Решение.

Пусть трёхзначное число $\displaystyle 100a + 10b + c$, где $\displaystyle a$ — цифра сотен, $\displaystyle b$ — цифра десятков, $\displaystyle c$ — цифра единиц.

$\displaystyle 9(10a + c) = 100a + 10b + c$;

$\displaystyle 90a + 9c = 100a + 10b + c$;

$\displaystyle 8c = 10a + 10b$;

$\displaystyle 4c = 5(a + b)$;

$\displaystyle c = 5;\ a + b = 4$.

Сумма цифр трёхзначного числа: $\displaystyle a + b + c = 4 + 5 = 9$.

Ответ: $\displaystyle 9$.

Задача $\displaystyle 4$

Записаны одно за другим подряд все чётные числа натурального ряда $\displaystyle 2468101214161820 …$ Какая цифра будет написана на $\displaystyle 120$ месте?

Решение.

Первые $\displaystyle 4$ места занимают однозначные чётные числа ($\displaystyle 2,\ 4,\ 6,\ 8$).

Чётных двузначных чисел — $\displaystyle 45$, каждое из них записывается двумя цифрами. Значит, для записи всех чётных двузначных потребуется $\displaystyle 90$ цифр.

$\displaystyle 120 - 4 - 90 = 26$ — столько мест занимают трёхзначные числа.

$\displaystyle 26 : 3 = 8$ (ост. $\displaystyle 2$);

$\displaystyle 8$ чётных трёхзначных чисел будут записаны полностью, а $\displaystyle 9$-е — только первые две цифры.

Чётные трёхзначные числа: $\displaystyle 100,\ 102,\ 104,\ 106,\ 108,\ 110,\ 112,\ ...$

$\displaystyle 9$-е число — $\displaystyle 116$.

Вторая цифра числа $\displaystyle 116$ — это цифра $\displaystyle 1$.

Ответ: $\displaystyle 1$.

Импликация высказываний

Импликация — это новое высказывание, образованное из данных высказываний А и В при помощи слов "если …, то …".

Например: "Если данное число делится на $\displaystyle 2$ и на $\displaystyle 3$, то оно делится на $\displaystyle 6$.

Высказывание А называют условием, а высказывание В — заключением.

В рассмотренном примере условием является высказывание "данное число делится на $\displaystyle 2$ и на $\displaystyle 3$", заключением — "число делится на $\displaystyle 6$".

Импликация считается ложным высказыванием только в том случае, когда условие истинно, а заключение ложно.

Например:

$\displaystyle 1)$ если число $\displaystyle 12$ делится на $\displaystyle 2$ и на $\displaystyle 3$, то оно делится на $\displaystyle 6$ (истинное высказывание);

$\displaystyle 2)$ если число $\displaystyle 8$ делится на $\displaystyle 2$, то оно делится на $\displaystyle 5$ (ложное высказывание);

$\displaystyle 3)$ если число $\displaystyle 10$ делится на $\displaystyle 3$, то оно делится на $\displaystyle 4$ (истинное высказывание).

Задача $\displaystyle 1$

Есть ли среди данных высказываний истинные:

$\displaystyle 1)$ если $\displaystyle 30$ делится на $\displaystyle 3$, то $\displaystyle 30$ делится на $\displaystyle 4$;

$\displaystyle 2)$ если $\displaystyle 32$ делится на $\displaystyle 4$, то $\displaystyle 32$ делится на $\displaystyle 8$;

$\displaystyle 3)$ если $\displaystyle 34$ делится на $\displaystyle 2$, то $\displaystyle 34$ делится на $\displaystyle 6$;

$\displaystyle 4)$ если $\displaystyle 36$ делится на $\displaystyle 5$, то $\displaystyle 36$ делится на $\displaystyle 7$?

Решение.

Импликация считается ложным высказыванием только в том случае, когда условие истинно, а заключение ложно.

Истинные высказывания: $\displaystyle 2;\ 4$.

Ложные высказывания: $\displaystyle 1;\ 3$.

Ответ: да.

Задача $\displaystyle 2$

Какие из данных высказываний ложные:

$\displaystyle 1)$ если $\displaystyle 4$ — корень уравнения $\displaystyle 4x - 5 = x + 7$, то и $\displaystyle 3$ корень этого уравнения;

$\displaystyle 2)$ если $\displaystyle 5$ — корень уравнения $\displaystyle 6x - 2 = 2x + 6$, то и $\displaystyle 2$ корень этого уравнения;

$\displaystyle 3)$ если $\displaystyle 6$ — корень уравнения $\displaystyle (x - 6)(x + 7) = 0$, то и $\displaystyle 7$ корень этого уравнения;

$\displaystyle 4)$ если $\displaystyle 7$ — корень уравнения $\displaystyle (x - 7)(x - 8) = 0$, то и $\displaystyle 8$ корень этого уравнения?

Решение.

Истинные высказывания: $\displaystyle 2;\ 4$.

Ложные высказывания: $\displaystyle 1;\ 3$.

Ответ: $\displaystyle 1;\ 3$.

Задача $\displaystyle 3$

Алексей, Борис и Виктор работают строителем, инженером и учителем.

$\displaystyle 1)$ Если Виктор — инженер, то Борис — учитель.

$\displaystyle 2)$ Если Виктор — учитель, то Борис — строитель.

$\displaystyle 3)$ Если Борис — не инженер, то и Алексей — не инженер.

$\displaystyle 4)$ Если Алексей — строитель, то Виктор — учитель.

Кто кем работает?

Решение.

Допустим, в высказывании $\displaystyle 1$ условие истинное — Виктор — инженер, тогда Борис — учитель, а Алексей — строитель. Противоречие с высказыванием $\displaystyle 4$. Значит, Виктор — не инженер.

Допустим, в высказывании $\displaystyle 2$ условие истинное — Виктор — учитель, тогда Борис — строитель, а Алексей — инженер. Противоречие с высказыванием $\displaystyle 3$. Значит, Виктор — не учитель.

Виктор — не инженер и не учитель, тогда Виктор — строитель. Высказывание $\displaystyle 3$ — условие ложно, тогда Борис — инженер, а Алексей — учитель.

Ответ: Алексей — учитель, Борис — инженер, Виктор — строитель..

Задача $\displaystyle 4$

В корзине лежат зелёные и красные яблоки, всего $\displaystyle 16$ яблок. Известно, что среди любых $\displaystyle 7$ из них имеется хотя бы одно зелёное яблоко, а среди любых $\displaystyle 11$ — хотя бы одно красное яблоко. Сколько зелёных и сколько красных яблок в корзине?

Решение.

Среди любых $\displaystyle 7$ из них имеется хотя бы одно зелёное яблоко, тогда красных не может быть больше, чем $\displaystyle 7 - 1 = 6$.

Среди любых $\displaystyle 11$ — хотя бы одно красное яблоко, тогда зелёных не может быть больше, чем $\displaystyle 11 - 1 = 10$.

В корзине $\displaystyle 10$ зелёных и $\displaystyle 6$ красных яблок.

Ответ: $\displaystyle 10$ зелёных и $\displaystyle 6$ красных яблок.

Задача $\displaystyle 5$

Четыре ученика обсуждали ответ к задаче.

Коля сказал: "Это число $\displaystyle 9$".

Рома сказал: "Это простое число".

Катя сказал: "Это чётное число".

Наташа сказал: "Это число $\displaystyle 15$".

Назовите это число, если один из мальчиков и одна из девочек ошиблись.

Решение.

Допустим, Коля сказал правду. Возникает противоречие — обе девочки ошиблись. $\displaystyle 9$ — не является чётным числом, и это не число $\displaystyle 15$.

Тогда Коля ошибся, а Рома сказал правду — это простое число.

Простое чётное число — $\displaystyle 2$. Рома и Катя сказали правду.

Ответ: $\displaystyle 2$.

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов: