Примеры уроков. ОГЭ по математике для 9 класса

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a \cdot c}{b \cdot c}= \frac{a : c}{b : c}$

Сокращение дробей - деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы.

$\displaystyle \frac{15}{20} = \frac{15 : 5}{20 : 5} = \frac{3}{4}$

Деление и дроби

$\displaystyle a:b= \frac{a}{b}$

$\displaystyle 5:6= \frac{5}{6}$

$\displaystyle 6:2= \frac{6}{2}=3$

Любое натуральное число можно записать в виде дроби с любым натуральным знаменателем.

$\displaystyle 3= \frac{3 \cdot 5}{5}=\frac{15}{5}$

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

$\displaystyle \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

$\displaystyle \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

Приведение дробей к общему знаменателю

$\displaystyle 1)$ Найти НОК знаменателей (это и есть наименьший общий знаменатель).

$\displaystyle \frac {3}{4}$ и $\displaystyle \frac {5}{6}$; НОК$\displaystyle (4;\ 6) = 12$

$\displaystyle 2)$ Найти для каждой дроби дополнительный множитель (разделить наименьший общий знаменатель на знаменатель дроби).

$\displaystyle 12:4=3$ и $\displaystyle 12:6=2$

$\displaystyle 3)$ Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

$\displaystyle \frac {3}{4} = \frac {3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac {9}{12}$

$\displaystyle \frac {5}{6} = \frac {5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac {10}{12}$

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

$\displaystyle 1)$ Привести дроби к наименьшему общему знаменателю $\displaystyle (m)$.

$\displaystyle 2)$ Сравнить

$\displaystyle \frac {a}{m} > \frac {b}{m}$, если $\displaystyle a > b$

Сложить

$\displaystyle \frac {a}{m} + \frac {b}{m} = \frac {a+b}{m}$

Вычесть

$\displaystyle \frac {a}{m} - \frac {b}{m} = \frac {a-b}{m}$

Смешанные числа

Сложение смешанных чисел

$\displaystyle 1)$ Привести дробные части к наименьшему общему знаменателю.

$\displaystyle 2)$ Сложить отдельно целые и дробные части.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть и прибавить её к полученной целой части.

$\displaystyle 5\frac{5}{6} + 3\frac{3}{4} = 5\frac{10}{12} + 3\frac{9}{12} = $

$\displaystyle =8\frac{19}{12} = 9\frac{7}{12}$

Вычитание смешанных чисел

$\displaystyle 1)$ Привести дробные части к наименьшему общему знаменателю.

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть.

$\displaystyle 2)$ Вычесть отдельно целые и дробные части.

$\displaystyle 3\frac{4}{9} - 1\frac{5}{6} = 3\frac{8}{18} - 1\frac{15}{18} =$

$\displaystyle = 2\frac{26}{18} - 1\frac{15}{18} = 1\frac{11}{18}$

Умножение дроби на натуральное число

$\displaystyle \frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$

$\displaystyle \frac{3}{4} \cdot 5 = \frac{3 \cdot 5}{4} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$

Умножение дробей

$\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

$\displaystyle \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{15} = \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 15} = $

$\displaystyle =\frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$

Умножение смешанных чисел

Записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

$\displaystyle 9\frac{3}{5} \cdot 1\frac{5}{12} = \frac{48}{5} \cdot \frac{17}{12} =$

$\displaystyle = \frac{48 \cdot 17}{5 \cdot 12} = \frac{4 \cdot 17}{5} =\frac{68}{5} = 13\frac{3}{5}$

Применение распределительного свойства умножения

$\displaystyle 1)$ $\displaystyle \Big(\frac{4}{5} - \frac{1}{3}\Big) \cdot 15 = $

$\displaystyle =\frac{4}{5} \cdot 15 - \frac{1}{3} \cdot 15 = 12-5=7$

$\displaystyle 2)$ $\displaystyle 2\frac{1}{14} \cdot 7 = \Big(2+\frac{1}{14}\Big) \cdot 7 =$

$\displaystyle = 2 \cdot 7+ \frac{1}{14} \cdot 7 = 14 + \frac{1}{2} = 14\frac{1}{2}$

$\displaystyle 3)$ $\displaystyle \frac{3}{8} \cdot a + \frac{1}{4}\cdot a =$

$\displaystyle =\Big( \frac{3}{8} + \frac{1}{4}\Big)\cdot a =\Big( \frac{3}{8} + \frac{2}{8}\Big)\cdot a= \frac{5}{8} \cdot a$

Деление

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

$\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $

$\displaystyle 2\frac{2}{5} : 1\frac{1}{15} = \frac{12}{5} : \frac{16}{15} =$

$\displaystyle = \frac{12}{5} \cdot \frac{15}{16} = \frac{12 \cdot 15}{5 \cdot 16} = $

$\displaystyle =\frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Дробные выражения - частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой.

Пример.

$\displaystyle \frac{\frac{3}{4}+\frac{7}{8}}{1 \frac{3}{10}-\frac{4}{5}} = \frac{\frac{6}{8}+\frac{7}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{13}{8} : \frac{1}{2}=$

$\displaystyle = \frac{13}{8} \cdot \frac{2}{1} = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}$

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Основное тригонометрическое тождество:

$\displaystyle sin^2A+ cos^2A=1$.

$\displaystyle sin\ 30^\circ=\frac{1}{2}$; $\displaystyle sin\ 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$; $\displaystyle sin\ 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$

$\displaystyle cos\ 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$; $\displaystyle cos\ 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$; $\displaystyle cos\ 60^\circ=\frac{1}{2}$

$\displaystyle tg\ 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$; $\displaystyle tg\ 45^\circ=1$; $\displaystyle tg\ 60^\circ=\sqrt3$

Теорема о площади треугольника

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

$\displaystyle S=\frac{1}{2}·ab \sin{C}$.

Теорема синусов

Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

$\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R$

Теорема косинусов

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc \cos{A}$.

Правильный многоугольник

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Сумма всех углов $\displaystyle n$-угольника равна $\displaystyle (n-2)·180^{\circ}$, причём все его углы равны, поэтому формула для вычисления угла правильного $\displaystyle n$-угольника: $\displaystyle \alpha_n=\frac{n-2}{n}·180^{\circ}$.

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Теорема. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия:

1) окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах;

2) центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Площадь правильного многоугольника

$\displaystyle S$ – площадь правильного $\displaystyle n$-угольника;

$\displaystyle a_n$ – его сторона;

$\displaystyle P$ – периметр;

$\displaystyle r$ – радиус вписанной окружности;

$\displaystyle R $– радиус описанной окружности.

Формулы:

$\displaystyle S=\frac{1}{2} \cdot Pr$;

$\displaystyle a_n =2R\sin{\Big(\frac{180^{\circ}}{n}\Big)}$;

$\displaystyle r=R\cos{\Big(\frac{180^{\circ}}{n}\Big)}$.

Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:

$\displaystyle a_3=2R\sin{\frac{180^{\circ}}{3}}=2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}$

$\displaystyle a_4=2R\sin{\frac{180^{\circ}}{4}}=2R\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=R\sqrt{2}$

$\displaystyle a_6=2R\sin{\frac{180^{\circ}}{6}}=2R\cdot\frac{1}{2}=R$

Длина окружности

Отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей.

$\displaystyle \frac{C}{2R}=\pi$.

Формула для вычисления длины окружности радиуса $\displaystyle R$:

$\displaystyle C=2\pi R$.

Формула для вычисления длины дуги окружности с градусной мерой $\displaystyle \alpha$:

$\displaystyle l=\frac{\pi R}{180}\cdot \alpha$.

Площадь круга

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

$\displaystyle S=\pi R^2$.

Площадь кругового сектора

Круговой сектор – часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

$\displaystyle S=\frac{\pi R^2}{360}\cdot \alpha$.

Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов: