ЕГЭ по математике (базовый уровень) для 10-11 классов

 Арифметические вычисления

Порядок действий: первыми выполняются операции умножения и деления, затем - сложения и вычитания. Если нужно изменить порядок, то ставят скобки.

Пример. Вычислить $\displaystyle \frac {\Big(152 \frac{3}{4} - 148 \frac{3}{8} \Big) \cdot 0{,}3} {0{,}2}$.

Решение. $\displaystyle 1) \ 152 \frac{3}{4} - 148 \frac{3}{8}=4\frac{3}{8}=4{,}375$.

$\displaystyle 2)\ 4{,}375 \cdot 0{,}3=1{,}3125$.

$\displaystyle 3)\ 1{,}3125:0{,}2=6{,}5625$.

Ответ: $\displaystyle 6{,}5625$.

Степень

Свойства степени при $\displaystyle a>0, \ b>0$:

$\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

$\displaystyle a^n \cdot a^m=a^{n+m}$

$\displaystyle \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

$\displaystyle \Big(a^n \Big)^m=a^{nm}$

$\displaystyle (ab)^n=a^n \cdot b^n$

$\displaystyle \Big(\frac{a}{b} \Big)^n= \frac{a^n}{b^n}$

Пример. $\displaystyle \frac{5^6 \cdot 125}{25^4}$.

Решение.$\displaystyle \frac{5^6 \cdot 125}{25^4}=\frac{5^6\cdot 5^3}{(5^2)^4}=\frac{5^9}{5^8}=5.$

Ответ:$\displaystyle 5$.

Модуль числа

Модуль числа (абсолютная величина числа):

\begin{equation*} \lvert a\rvert= \begin{cases} \displaystyle a, если \ a\geqslant0\\ \displaystyle -a, если \ a<0\end{cases} \end{equation*}

Пример. Упростите: $\displaystyle \lvert -3 \rvert + \lvert 5-2 \rvert - \lvert -3-6 \rvert + \lvert 1-4 \rvert$.

Решение. $\displaystyle \lvert -3 \rvert + \lvert 5-2 \rvert - \lvert -3-6 \rvert + \lvert 1-4 \rvert=3+3-9+3=0$.

Ответ: $\displaystyle 0$.

Геометрический смысл модуля: $\displaystyle \lvert a \rvert$ - это расстояние от числа $\displaystyle a$ до нуля на числовой прямой.

Пример. На координатной прямой отмечены числа $\displaystyle -0{,}205; \ -0{,}052; \ 0{,}02; \ 0{,}008$. Какое из этих чисел удалено от нуля на наибольшее расстояние?

Решение.$\displaystyle \lvert -0{,}205 \rvert=0{,}205; \ \lvert -0{,}052 \rvert=0{,}052; \ \lvert 0{,}02 \rvert=0{,}02; \ \lvert 0{,}008 \rvert=0{,}008$.

Сравнение модулей показывает, что $\displaystyle 0{,}205$ больше остальных, значит, число $\displaystyle -0{,}205$ удалено от нуля на наибольшее расстояние (см. рисунок)

Ответ:$\displaystyle -0{,}205$.

Внимание! В ролике на слайде 4 опечатка. Следует читать так:

$\displaystyle a:b=(2{,}1 \cdot 10^{3}):(1{,}4 \cdot 10^{-2})=(2{,}1:1{,}4) \cdot (10^{3}:10^{-2})=1{,}5 \cdot 10^{5}=150000$

$\displaystyle \frac{2{,}1 \cdot 10^{3}}{1{,}4 \cdot 10^{-2}}=\frac{2{,}1}{1{,}4} \cdot \frac{10^{3}}{10^{-2}}=1{,}5 \cdot10^{5}=150000$.

Видеоролик "Стандартный вид числа"

Пример. Необходимо разместить в банке $\displaystyle 8000$ рулей на $\displaystyle 3$ года. Условия размещения вклада в трех банках приведены в таблице.

Найдите наибольший возможный доход в рублях, который может быть получен.

Капитализацией называется присоединение начисленных процентов к сумме вклада.

Решение. Определим возможный доход при размещении вклада в каждом из банков.

Банк "Взлет": $\displaystyle 8000 \cdot 1{,}5=12 000$. Возможный доход $\displaystyle 12 000-8000=4000$ рублей.

Банк "Стремление": $\displaystyle 8000 \cdot 1{,}15^3=8000 \cdot 1{,}520 875=12 167$. Возможный доход $\displaystyle 12 167-8000=4167$ рублей.

Банк "Надежда": $\displaystyle 8000 \cdot 0{,}17=1360$ рублей- доход за $\displaystyle 1$ год.

Доход за три года: $\displaystyle 1360 \cdot 3 =4080$ рублей.

Премия $\displaystyle 1$% от суммы вклада: $\displaystyle 8000 \cdot 0{,}01=80$ рублей.

Возможный доход за $\displaystyle 3$ года в банке "Надежда" составит $\displaystyle 4080+80=4160$ рублей.

Сравнивая возможный доход в каждом из трех банков, выбираем наибольший - $\displaystyle 4167$ рублей.

Ответ: $\displaystyle 4167$.

Видеоролик "Круги на клетчатой бумаге"

Варианты ответов: