Интернет-кружок по математике, 8 класс, примеры

Теория:

Модуль числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.

$\displaystyle \begin{equation*} \lvert a\rvert= \begin{cases} \displaystyle a, \ a\geqslant0\\ \displaystyle -a, \ a<0\end{cases} \end{equation*}$

Геометрический смысл модуля

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $\displaystyle a$ называется расстояние от точки, изображающей число $\displaystyle a$ на числовой прямой, до точки $\displaystyle 0$.

$\displaystyle |3| = 3$

$\displaystyle |0| = 0$

$\displaystyle |-3| = 3$

Свойства модуля

$\displaystyle 1)$ $\displaystyle \lvert a\rvert\geqslant0$

$\displaystyle 2)$ $\displaystyle \lvert -a\rvert=\lvert a\rvert$

$\displaystyle 3)$ Если $\displaystyle \lvert a\rvert=b$ при условии $\displaystyle b\geqslant0$, то $\displaystyle a=b$ или $\displaystyle a=-b$.

Решение уравнений с модулем

$\displaystyle 1)$ Решить уравнение: $\displaystyle |2x| = 6$.

Ответ: $\displaystyle 3; -3$.

$\displaystyle 2)$ Решить уравнение: $\displaystyle |- 5x| = - 5$.

Ответ: решений нет.

$\displaystyle 3)$ Решить уравнение: $\displaystyle |8 - 2x| = 0$.

Ответ: $\displaystyle 4$.

Степень с натуральным показателем

Степенью числа $\displaystyle a$ с натуральным показателем $\displaystyle n$, большим $\displaystyle 1$, называется произведение $\displaystyle n$ множителей, каждый из которых равен $\displaystyle a$:

$\displaystyle a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dotsc a}_{n} $

Степенью числа $\displaystyle a$ с показателем $\displaystyle 1$ называется само число $\displaystyle a$:

$\displaystyle a^1=a $

В выражении $\displaystyle a^n $ число $\displaystyle a$ - повторяющийся множитель, называют основанием степени, число $\displaystyle n$, показывающее, сколько раз повторяется множитель, называют показателем степени.

Например: $\displaystyle 3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$; $\displaystyle 3$ - основание степени, $\displaystyle 4$ - показатель степени, $\displaystyle 81$ - значение степени.

Учимся решать задачи:

Варианты ответов:

Задание 9:

Можно ли разрезать фигуру по линиям на пять равных, совпадающих при наложении, частей, если разрезанные фигуры можно переворачивать?

Варианты ответов:

Теория:

Формулы Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений с двумя переменными:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle a_1x+b_1y=c_1,\\ \displaystyle a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}$

Числа $\displaystyle \Delta, \ \Delta_x, \ \Delta_y$ - определители системы.

$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1$.

$\displaystyle \Delta_x=\begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}=c_1b_2-c_2b_1$.

$\displaystyle \Delta_y=\begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}=a_1c_2-a_2c_1$.

При $\displaystyle \Delta \neq 0$ система имеет единственное решение:

$\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}; \ y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$.

При $\displaystyle \Delta=0$:

если $\displaystyle \Delta_x \neq0, \ \Delta_y \neq0$, то система не имеет решений,

если $\displaystyle \Delta_x=0$ или $\displaystyle \Delta_y=0$, то система имеет бесконечное множество решений.

Задача $\displaystyle 1$

Сколько решений имеет система уравнений?

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 3x+y=8,\\ \displaystyle 4x-5y=2. \end{cases}$

Решение:

$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 4 & -5 \end{vmatrix}=3 \cdot (-5) - 4 \cdot 1 = $ $\displaystyle -19$

При $\displaystyle \Delta \neq 0$ система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет единственное решение.

Задача $\displaystyle 2$

Решить систему уравнений:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 3x-y=4;\\ \displaystyle 6x-2y=9. \end{cases}$

Решение:

$\displaystyle \Delta = 3 \cdot (-2) - 6 \cdot (-1) = 0$

$\displaystyle \Delta_x = 4\cdot (-2) - 9\cdot (-1) = 1$

$\displaystyle \Delta_y = 3 \cdot 9 - 6 \cdot 4 = 3$

Уравнения системы противоречат друг другу.

Ответ: система не имеет решений.

Задача $\displaystyle 3$

Решить систему уравнений:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 2x-3y=4;\\ \displaystyle 6x-9y=12. \end{cases}$

Решение:

$\displaystyle \Delta = 2 \cdot (-9) - 6 \cdot (-3) = 0$

$\displaystyle \Delta_x = 4\cdot (-9) - 12 \cdot (-3) = 0$

$\displaystyle \Delta_y = 2 \cdot 12 - 6 \cdot 4=0$

Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

Учимся решать задачи:

Варианты ответов:

Варианты ответов:

Варианты ответов: