[Летний интенсив по математике - краткое повторение кружка 6 класса]

Летний интенсив по математике - краткое повторение кружка 6 класса

Летний интенсив по математике - краткое повторение кружка 6 класса

Примеры заданий онлайн-курса «Летний интенсив»

Примеры заданий онлайн-курса «Летний интенсив»

1 урок

Теория:


Десятичная система счисления


Натуральные числа - для счёта предметов.

Это числа $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \dots$

Ряд натуральных чисел бесконечен.


Цифры: $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$.

Число $\displaystyle 10$ – основание системы счисления.

Счёт идёт десятками, сотнями, тысячами и так далее.

Единица каждого следующего разряда в $\displaystyle 10$ раз больше единицы предыдущего разряда.


Разложение по разрядам:

$\displaystyle 3456 = 3 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 + 4 \cdot 10 \cdot 10 + $ $\displaystyle 5 \cdot 10 + $ $\displaystyle 6 = $ $\displaystyle 3 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 6$.


Признаки делимости:

на $\displaystyle 2$ - натуральное число оканчивается чётной цифрой $\displaystyle 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8$;

на $\displaystyle 5$ - натуральное число оканчивается цифрой $\displaystyle 0$ или $\displaystyle 5$;

на $\displaystyle 10$ - натуральное число оканчивается цифрой $\displaystyle 0$.

на $\displaystyle 9$ - сумма цифр числа делится на $\displaystyle 9$;

на $\displaystyle 3$ - сумма цифр числа делится на $\displaystyle 3$;

на $\displaystyle 4$ - две последние цифры числа образуют двузначное число, делящееся на $\displaystyle 4$; например, число $\displaystyle 7924$ делится на $\displaystyle 4$, так как число $\displaystyle 24$ делится на $\displaystyle 4$;

на $\displaystyle 8$ - три последние цифры числа образуют трёхзначное число, делящееся на $\displaystyle 8$; например, число $\displaystyle 79168$ делится на $\displaystyle 8$, так как число $\displaystyle 168$ делится на $\displaystyle 8$.


Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления только две цифры $\displaystyle 0$ и $\displaystyle 1$.

С их помощью можно записать любое число.

Счёт ведётся двойками. За основание системы счисления принимается число $\displaystyle 2$.

Число $\displaystyle 2$ записывается в виде $\displaystyle 10_2$, читается "один-нуль".

Каждая единица следующего разряда в $\displaystyle 2$ раза больше предыдущей.

Числа от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 10$ записываются так:

$\displaystyle 1_2$, $\displaystyle 10_2$, $\displaystyle 11_2$, $\displaystyle 100_2$, $\displaystyle 101_2$, $\displaystyle 110_2$, $\displaystyle 111_2$, $\displaystyle 1000_2$, $\displaystyle 1001_2$, $\displaystyle 1010_2$.

Для каждой позиционной системы счисления можно сформулировать свои признаки делимости на то или иное число.


Латинский алфавит ($\displaystyle 26$ букв):

$\displaystyle A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F,\ G,\ H,\ I,\ J,$

$\displaystyle K,\ L,\ M,\ N,\ O,\ P,\ Q,\ R,\ S,\ T,$

$\displaystyle U,\ V,\ W,\ X,\ Y,\ Z. $


Учимся решать задачи

Задание 1:

Найдите наименьшее чётное четырёхзначное число, кратное $\displaystyle 5$ и $\displaystyle 31$.

Задание 2:

В строчку выписаны целые числа от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 1000$. Сколько в этой записи пятёрок?

Задание 3:

Для нумерации страниц книги потребовалось всего $\displaystyle 151$ цифра. Сколько страниц в книге?

Задание 4:

Существует ли такое натуральное число, которое при делении на $\displaystyle 4$ даёт остаток $\displaystyle 2$, а при делении на $\displaystyle 6$ даёт остаток $\displaystyle 3$?

Варианты ответов:

да
нет

Задание 5:

Делится ли на $\displaystyle 5$ число, которое в двоичной системе счисления записывается так: $\displaystyle 11110_2$?

Варианты ответов:

да
нет

Задание 6:

Делится ли на $\displaystyle 3$ число, которое в двоичной системе счисления записывается так: $\displaystyle 1011_2$?

Варианты ответов:

нет
да

Задание 7:

Вставьте пропущенные цифры так, чтобы четырёхзначное число $\displaystyle 67**$ делилось и на $\displaystyle 2$, и на $\displaystyle 3$, и на $\displaystyle 45$. Назовите полученное четырёхзначное число.

Задание 8:

В коробке лежат чёрные, белые и красные шарики. Чёрных больше, чем $\displaystyle 7$, а белых меньше, чем $\displaystyle 7$. Вместе чёрных и красных в $\displaystyle 2$ раза больше, чем белых, а белых и красных ровно столько, сколько чёрных. Сколько всего шариков?

Задание 9:

Запишите в свободные клетки квадрата числа $\displaystyle 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$ так, чтобы суммы чисел во всех строках, столбцах и на двух диагоналях были бы равными. Какое число будет записано в верхней строке слева?

Задание 10:

Сколько кубиков нужно для построения фигуры?

20 урок

Теория:


Игры


Игры с выигрышными позициями

В таких играх следует искать выигрышную позицию и стремиться передать очередь невыгодного хода противнику.


Задача $\displaystyle 1$

Из кучки камней двое играющих по очереди берут $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$ или $\displaystyle 3$ камня. Проигрывает тот, кто берёт последний камень. Как играть второму, чтобы выиграть, если в кучке $\displaystyle 17$ камней?

Решение:

Остаток от деления $\displaystyle 17$ на $\displaystyle 4$ равен $\displaystyle 1$. Выигрышная стратегия для второго игрока: второй должен брать всегда столько, чтобы вместе со своим противником взять $\displaystyle 4$ камня.

Ответ: выиграет второй при правильной игре.


Задача $\displaystyle 2$

У ромашки $\displaystyle n$ лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто и как выиграет при правильной игре, если: 1) $\displaystyle n=12$; 2) $\displaystyle n=13$?

Решение:

Выиграет второй игрок в любом случае. Независимо от хода первого игрока, второй может после своего хода оставить две одинаковые по длине цепочки лепестков, а затем делать симметричные ходы.

Ответ: выиграет второй при правильной игре.


Учимся решать задачи


Кендоку

Разгадайте кендоку: заполните клетки числами от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 4$ включительно так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа не повторялись. Число, которое записано в углу каждого выделенного блока - это результат сложения, вычитания, умножения или деления в этом блоке. Числа внутри блока могут повторяться.

Решение:

Задание 1:

Из кучки в $\displaystyle 20$ камней двое играющих по очереди берут $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$ или $\displaystyle 3$ камня. Проигрывает тот, кто берёт последний камень. Верно ли утверждение: при правильной игре выиграет первый игрок?

Варианты ответов:

нет
да

Задание 2:

Разделите число $\displaystyle 430$ на три части $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ и $\displaystyle z$ так, чтобы $\displaystyle x : y = 3 : 2$, а $\displaystyle y : z = 7 : 4$. Назовите значение $\displaystyle z$.

Задание 3:

Билет в кино со скидкой в $\displaystyle 40\%$ стоит $\displaystyle 120$ рублей. Сколько стоит билет без скидки? Дайте ответ в рублях.

Задание 4:

Напишите наибольшее пятизначное число, делящееся на $\displaystyle 45$, чтобы последняя цифра его была нечётная и все цифры были бы различны.

Задание 5:

Можно ли разбить шестиугольник двумя прямыми на два треугольника и шестиугольник?

Варианты ответов:

нет
да

Задание 6:

Куртка стоила $\displaystyle 4000$ р. Цена на неё повышалась $\displaystyle 2$ раза на $\displaystyle 15 \%$. Сколько стоит куртка после второго повышения? Дайте ответ в рублях.

Задание 7:

В ящике $\displaystyle 20$ белых шаров, $\displaystyle 15$ чёрных и $\displaystyle 10$ красных. На ощупь шары неотличимы друг от друга. Шары вынимают из ящика в темноте. Какое наименьшее число шаров нужно взять, чтобы среди них обязательно оказалось по $\displaystyle 3$ шара каждого цвета?

Задание 8:

На сколько процентов увеличится объём куба, если каждое ребро увеличить на $\displaystyle 40 \%$?

Варианты ответов:

на $\displaystyle 274,\!4 \%$
на $\displaystyle 196 \%$
на $\displaystyle 174,\!4 \%$
на $\displaystyle 120 \%$
на $\displaystyle 40 \%$

Задание 9:

Какое число надо записать вместо вопросительного знака?

Варианты ответов:

-4
4
6
-6
8

Задание 10:

Разгадайте кендоку: заполните клетки числами от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 4$ включительно так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа не повторялись. Число, которое записано в углу каждого выделенного блока - это результат сложения, вычитания, умножения или деления в этом блоке. Числа внутри блока могут повторяться. Какое число будет записано в верхней строке в угловой клетке справа?

Как записаться на курс

Для того, чтобы записаться на курс, нужно зарегистрироваться, войти в МетаШколу, перейти по ссылке «Все курсы, оплата». Cпособы оплаты.