Летний интенсив по математике — краткое повторение кружка 5 класса

Теория:

Десятичная система счисления

Натуральные числа - для счёта предметов.

Это числа $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \dots$

Ряд натуральных чисел бесконечен.

Цифры: $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$.

Число $\displaystyle 10$ – основание системы счисления.

Счёт идёт десятками, сотнями, тысячами и так далее.

$\displaystyle 1$ десяток $\displaystyle = 10$ единиц

$\displaystyle 1$ сотня $\displaystyle = 10$ десятков

$\displaystyle 1$ тысяча $\displaystyle = 10$ сотен

Единица каждого следующего разряда в $\displaystyle 10$ раз больше единицы предыдущего разряда.

$\displaystyle 1$ миллион = $\displaystyle 1000000$

$\displaystyle 1$ миллиард = $\displaystyle 1000000000$

Разложение по разрядам:

$\displaystyle 2345 = 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 + 3 \cdot 10 \cdot 10 + $ $\displaystyle 4 \cdot 10 + $ $\displaystyle 5 = $ $\displaystyle 2 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 5$.

Чётные числа делятся на $\displaystyle 2$, оканчиваются на чётную цифру $\displaystyle 0$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 6$ или $\displaystyle 8$.

Нечётные числа не делятся на $\displaystyle 2$, оканчиваются на нечётную цифру $\displaystyle 1$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle 7$ или $\displaystyle 9$.

Натуральные числа, делящиеся на $\displaystyle 5$, оканчиваются цифрой $\displaystyle 0$ или $\displaystyle 5$.

Цифры в записи числа не повторяются, например: $\displaystyle 13579$.

Цифры в записи числа повторяются, например: $\displaystyle 32183$, $\displaystyle 28822$, $\displaystyle 55555$.

В двузначном числе $\displaystyle 53$ цифра десятков - $\displaystyle 5$, а цифра единиц - $\displaystyle 3$. Цифра единиц на $\displaystyle 2$ меньше, чем цифра десятков.

Задача

Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр $\displaystyle 0$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$ и $\displaystyle 3$, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение:

1 способ: запишем все возможные числа в порядке возрастания: $\displaystyle 1023$, $\displaystyle 1032$, $\displaystyle 1203$, $\displaystyle 1230$, $\displaystyle 1302$, $\displaystyle 1320$, $\displaystyle 2013$, $\displaystyle 2031$, $\displaystyle 2103$, $\displaystyle 2130$, $\displaystyle 2301$, $\displaystyle 2310$, $\displaystyle 3012$, $\displaystyle 3021$, $\displaystyle 3102$, $\displaystyle 3120$, $\displaystyle 3201$, $\displaystyle 3210$.

2 способ: первая цифра может быть любая из $\displaystyle 3$-х ($\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$ или $\displaystyle 3$) - $\displaystyle 0$ записать нельзя; вторая цифра - не может быть такой же, как первая, но может быть $\displaystyle 0$, значит, $\displaystyle 3$ возможности, затем $\displaystyle 2$ возможности для предпоследней цифры и $\displaystyle 1$ возможность для постановки последней цифры.

$\displaystyle 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 18$.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления только две цифры $\displaystyle 0$ и $\displaystyle 1$.

С их помощью можно записать любое число.

Счёт ведётся двойками. За основание системы счисления принимается число $\displaystyle 2$.

Число $\displaystyle 2$ записывается в виде $\displaystyle 10_2$, читается "один-нуль".

Каждая единица следующего разряда в $\displaystyle 2$ раза больше предыдущей.

Числа от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 10$ записываются так:

$\displaystyle 1_2$, $\displaystyle 10_2$, $\displaystyle 11_2$, $\displaystyle 100_2$, $\displaystyle 101_2$, $\displaystyle 110_2$, $\displaystyle 111_2$, $\displaystyle 1000_2$, $\displaystyle 1001_2$, $\displaystyle 1010_2$.

Латинский алфавит ($\displaystyle 26$ букв):

$\displaystyle A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F,\ G,\ H,\ I,\ J,$

$\displaystyle K,\ L,\ M,\ N,\ O,\ P,\ Q,\ R,\ S,\ T,$

$\displaystyle U,\ V,\ W,\ X,\ Y,\ Z. $

Объёмные фигуры - куб, шар, прямоугольный параллелепипед, цилиндр.

Плоские фигуры - квадрат, круг, треугольник, прямоугольник.

Учимся решать задачи

Теория:

Игры

Игры-шутки

Это игры, исход которых не зависит от того, как играют соперники.

Игры с симметрией

В таких играх выгодно отвечать на ход противника "симметричным" ходом.

Игры с выигрышными позициями

В таких играх следует искать выигрышную позицию и стремиться передать очередь невыгодного хода противнику.

Задача $\displaystyle 1$

На столе лежат $\displaystyle 30$ камешков. Два игрока по очереди берут $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$ или $\displaystyle 3$ камешка. Проигравшим считается тот, кто возьмёт со стола последние камешки. Докажите, что при правильной игре выигрывает начинающий.

Доказательство:

Выигрышная стратегия для первого игрока: первому игроку следует первым ходом взять один камешек, а в дальнейшем дополнять число камешков, взятых вторым игроком на последнем ходу, до $\displaystyle 4$.

Задача $\displaystyle 2$

Игра начинается с числа $\displaystyle 0$. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 9$. Выиграет тот, кто получит число $\displaystyle 100$. Кто и как выиграет при правильной игре?

Решение:

Выиграет второй. Второй игрок должен прибавлять такое число, чтобы в сумме получить число, делящееся на $\displaystyle 10$.

Ответ: выиграет второй при правильной игре.

Учимся решать задачи

Кендоку

Разгадайте кендоку: заполните клетки числами от $\displaystyle 1$ до $\displaystyle 4$ включительно так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа не повторялись. Число, которое записано в углу каждого выделенного блока - это результат сложения, вычитания, умножения или деления в этом блоке. Числа внутри блока могут повторяться.

Решение: