ЕГЭ по математике (профильный уровень) для 10-11 классов

Уравнения с одной переменной

Число называется корнем уравнения, если при подстановке этого числа в неизвестное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение означает найти множество всех его корней или доказать, что их нет.

При решении уравнений допустимы следующие равносильные преобразования:

1. Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

2. Умножение (или деление) обеих частей уравнения на ненулевое число.

3. Равносильное преобразование одной из частей уравнения, не изменяющее область допустимых значений переменной.

При решении уравнений некоторых видов возможно использование определённого алгоритма, например, при решении квадратного уравнения можно найти дискриминант квадратного уравнения, и если он неотрицательный, то по формуле корней квадратного уравнения можно далее найти его корни.

Иррациональное уравнение вида $\displaystyle \sqrt {f(x)} = g(x)$ может быть решено по следующему алгоритму:  $\displaystyle f(x) = {g(x)}^2 $ при условии $\displaystyle g(x) \geq 0$. 

Другой способ решения такого уравнения состоит в возведении в квадрат обеих частей, что не является равносильным преобразованием и может привести к появлению посторонних корней, поэтому в таком случае требуется проверка каждого из полученных корней подстановкой в исходное уравнение.

При решении уравнений в тестовой части ЕГЭ настоятельно рекомендуем в любом случае осуществлять проверку.

Преобразование выражений

Для преобразования алгебраических выражений полезными будут следующие свойства дроби и степени:

$\displaystyle  \frac {a}{b} =  \frac {a \cdot c}{b \cdot c}$ и $\displaystyle \frac {a}{b} =  \frac {a : c}{b : c}$ при $\displaystyle c \neq0$,

$\displaystyle \frac {a}{b} \cdot \frac {c}{d}=\frac {ac}{bd}, \frac {a}{b} : \frac {c}{d}=\frac {ad}{bc}, \frac {a}{b} + \frac {c}{d}=\frac {ad+bc}{bd}, \frac {a}{m} + \frac {b}{m}=\frac {a+b}{m}$.

 $\displaystyle a^0=1, a^1=1, a^{-n}=\frac {1}{a^n},  a ^ {1/n} =\sqrt [n] {a},  a ^ {m/n} =\sqrt [n] {a^m},$

$\displaystyle a^m \cdot a^n = a^ {m+n}, a^m : a^n = a^ {m-n}, (a^m)^n= a^{mn}, a^n \cdot b^n = (ab)^n,  a^n : b^n = (\frac {a}{b})^n$.

Нахождение наибольшего/наименьшего значения функции без взятия производной

Квадратичная функция $\displaystyle y= a x^2+bx+c$, где $\displaystyle a \neq 0$,

при $\displaystyle a>0$ достигает своего наибольшего значения при $\displaystyle x_0 = - \frac {b}{2a}$ и не достигает своего наименьшего значения,

при $\displaystyle a<0$ достигает своего наименьшего значения при $\displaystyle x_0 = - \frac {b}{2a}$ и не достигает своего наибольшего значения.

Также наибольшее или наименьшее значение квадратичной функции можно находить с помощью выделения полного квадрата.

Аналогично можно найти наибольшее или наименьшее значение функции вида $\displaystyle y= \sqrt {a x^2+bx+c}$, где $\displaystyle a \neq 0$, при условии, что область определения этой функции отлична от пустого множества.

Основные понятия

Будем рассматривать некоторый опыт (эксперимент), результатом которого может быть один из конечного числа исходов. 

Событие – то, что наблюдаем в результате опыта. Возможно при нескольких (благоприятных) исходах.  

Достоверным называется событие, для которого все исходы опыта являются благоприятными.  

Невозможным называется событие, для которого ни один исход опыта не является благоприятным.  

Случайным называется событие, для которого среди исходов есть и благоприятные, и неблагоприятные. 

Вероятность в математике – число в границах от 0 до 1 (при заполнении бланка тестовой части ЕГЭ - это только конечная десятичная дробь). 

Запись: 0,6 - верный формат; 3/5, 3:5, 60%  - неверные форматы

Вероятность события $\displaystyle A $ обозначается как $\displaystyle P(A) $.

Таким образом, в математике $\displaystyle 0 \leq P(A) \leq 1 $. При этом и 0, и 1 достигаются: $\displaystyle P(A)=0 $ для невозможного события и $\displaystyle P(A)=1 $ для достоверного события.

Объединением событий $\displaystyle  A_k $ называется событие $\displaystyle  A $, которое означает появление хотя бы одного из событий $\displaystyle  A_k $. 

Обозначение: объединение событий $\displaystyle  A $ и $\displaystyle  B $: $\displaystyle A\cup B .$ Вероятность объединения событий $\displaystyle P(A\cup B) .$ 

Пересечением событий $\displaystyle  A_k $ называется событие $\displaystyle  A $, которое заключается в осуществлении всех событий $\displaystyle  A_k $.

Обозначение: пересечение событий $\displaystyle  A $ и $\displaystyle  B $: $\displaystyle A\cap B $. Вероятность пересечения событий $\displaystyle  A $ и $\displaystyle  B $: $\displaystyle P(A\cap B).$ 

События $\displaystyle  A $ и $\displaystyle  B $ называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.

Дополнительным (противоположным) к событию$\displaystyle A $ называется событие $\displaystyle \overline {A} $, обозначающее, что событие $\displaystyle A $ не происходит.

Объединение и пересечение событий лучше всего представлять в виде кругов (диаграмм) Эйлера - на плоскости множества схематично изображаются кругами или овалами (или другими фигурами). "Круг", соответствующий событию, означает множество благоприятных ему исходов. Пересечение "кругов", т. е. событий, означает множество исходов, благоприятных для всех пересечённых событий. Несовместные события изображаются непересекающимися "кругами".

Свойства вероятностей

1. Формула включений и исключений для событий (также встречается как теорема сложения вероятностей): 

для событий $\displaystyle A $ и $\displaystyle B $ верно: $\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) $

Частный случай для несовместных событий:  $\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B) $, то есть вероятность объединения (суммы) двух несовместных событий равна сумме вероятности этих событий.

Частный случай для противоположных событий верно: $\displaystyle P(A)+P(\overline {A})=1 $, то есть сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

2. Независимость событий

Определение: События $\displaystyle A $ и $\displaystyle B $ называются независимыми, если верно следующее: $\displaystyle P(A∩B)=P(A)⋅P(B) $.

Итак:

Если $\displaystyle P(A∩B)=P(A)⋅P(B) $, то события $\displaystyle A $ и $\displaystyle B $ называются независимыми.

И наоборот: если в условии задачи сказано, что события $\displaystyle A $ и $\displaystyle B $ независимы, то в решении можно использовать $\displaystyle P(A∩B)=P(A)⋅P(B) $.

Известно, что результаты бросков монеты – независимые события (результат 1-го и результат 2-го, или 3-го и т.д.) Результаты бросков игральных костей (результат, выпавший на первой кости, и результат, выпавший на второй кости) – тоже независимы.

Будьте внимательны:

в некоторых случаях верно P(A∩B)=P(A)∙P(B),

а в некоторых случаях P(A∩B)≠P(A)∙P(B). 

! Известно, что результаты бросков монеты – независимые события (результат 1-го и результат 2-го, или 3-го и т.д.)

Результаты бросков игральных костей (результат, выпавший на первой кости, и результат, выпавший на второй кости) – тоже независимы.

При этом стоит отметить, что когда речь идет о событиях, где событие A, например, связано с результатом броска одной монеты (кубика), а событие В - с результатом другой монеты (кубика), то данные события будут независимы. (Стоит уточнить, что речь идёт о событиях, каждое из которых связанно с результатом различных бросков монеты или кубика)

Также известно, что если события А и В – независимые, то независимы все пары событий: неА и неВ, неА и В , А и неВ .

При решении задачи использовать P(A∩B)=P(A)⋅P(B) можно с уверенностью только в том случае, если известно, что события A и B независимыми (например, если это сказано в условии).

Произведение вероятностей с уверенностью можно использовать, только если в условии уточнено, что описываемые события независимы. Также это правило можно применять в ситуации, когда проведена серия бросков монеты или игрального кубика, и каждое событие относится к результату отдельного броска.

3. Вероятность появления "хотя бы одного" из событий

Если требуется найти вероятность появления хотя бы одного события:

Удобнее находить вероятность появления хотя бы одного события из $\displaystyle A_1, A_2, ... A_k$ через противоположное событие:

События "Произойдёт хотя бы одно из событий $\displaystyle A_1, A_2, ... A_k$" (это объединение $\displaystyle A_1, A_2, ... A_k$) и "Не произойдет ни одно из событий $\displaystyle A_1, A_2, ... A_k$" (это пересечение не$\displaystyle A_1,$ не$\displaystyle A_2,$ ... не$\displaystyle A_k$)  - противоположные (дополнительные), значит

$\displaystyle P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k)=1 - P(\overline {A_1} \cap \overline {A_2} \cap ... \cap \overline {A_k}).$

То есть вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из событий $\displaystyle A_1, A _2,... A_k$ равна разности 1 и вероятности того, что одновременно не произойдут $\displaystyle A_1,$ и $\displaystyle A _2,$ и ... и $\displaystyle A_k.$

Если при этом известно, что события $\displaystyle A_1, A_2, ... A_k$ - независимые, то: 

$\displaystyle P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k)=1 - P(\overline {A_1}) \cdot P( \overline {A_2} )\cdot  ... \cdot P( \overline {A_k}).$ (!только если известно, что события независимы!)

4. Формула полной вероятности, условная вероятность

Определение: События $\displaystyle A_1, A_2, ... A_k$ образуют полную группу событий, если никакие два из них не являются совместными и хотя бы одно из событий точно произойдёт, то есть $\displaystyle P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k)=1.

Определение: Условной вероятностью события $B$\displaystyle при условии события $A$\displaystyle называется вероятность того, что событие $B$\displaystyle произошло при условии, что произошло событие $A$\displaystyle . Обозначение: $P(B|A).$\displaystyle

Формула полной вероятности:

Если дана полная группа событий $A_1, A_2, ... A_k$\displaystyle и известны условные вероятности события $B$\displaystyle при каждом из событий $A_i:$\displaystyle  $P(B|A_1),P(B|A_2)...P(B|A_k),$\displaystyle то вероятность события $B$\displaystyle можно вычислить следующим образом:

$P(B)=P(A_1)\cdot P(B|A_1)+P(A_2)\cdot P(B|A_2)+...+P(A_k)\cdot P(B|A_k).$\displaystyle

Нахождение условной вероятности в опыте с конечным числом равновозможных исходов:

Рассмотрим опыт (эксперимент), в результате которого может произойти один из конечного числа равновозможных(!) исходов. При этом событие $A$\displaystyle происходит в $a$\displaystyle исходах, событие $B$\displaystyle происходит в $b$\displaystyle исходах, а одновременно события $A$\displaystyle и $B$\displaystyle (то есть событие $A \cap B$\displaystyle ) происходит в $c$\displaystyle исходах.

Тогда условная вероятность события $B$\displaystyle при условии события $A$\displaystyle равна отношению $c$\displaystyle к $a:$\displaystyle

$P(B|A)= \frac {c}{a}.$\displaystyle

Другими словами, для того, чтобы найти такую условную вероятность, надо "сконцентрироваться" на тех исходах, когда осуществляется событие $A,$\displaystyle вычислить их число, далее только среди этих исходов найти те, при которых осуществляется событие $B, $\displaystyle вычислить их количество, и поделить последнее число на предыдущее.