Идёт запись!
[ЕГЭ по математике (профильный уровень)]

ЕГЭ по математике (профильный уровень)

ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Примеры заданий онлайн-курса по школьной программе

Примеры заданий онлайн-курса по школьной программе

1 урок

Уравнения с одной переменной

Число называется корнем уравнения, если при подстановке этого числа в неизвестное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение означает найти множество всех его корней или доказать, что их нет.

При решении уравнений допустимы следующие равносильные преобразования:

1. Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

2. Умножение (или деление) обеих частей уравнения на ненулевое число.

3. Равносильное преобразование одной из частей уравнения, не изменяющее область допустимых значений переменной.

При решении уравнений некоторых видов возможно использование определённого алгоритма, например, при решении квадратного уравнения можно найти дискриминант квадратного уравнения, и если он неотрицательный, то по формуле корней квадратного уравнения можно далее найти его корни.

Иррациональное уравнение вида $\displaystyle \sqrt {f(x)} = g(x)$ может быть решено по следующему алгоритму:  $\displaystyle f(x) = {g(x)}^2 $ при условии $\displaystyle g(x) \geq 0$. 

Другой способ решения такого уравнения состоит в возведении в квадрат обеих частей, что не является равносильным преобразованием и может привести к появлению посторонних корней, поэтому в таком случае требуется проверка каждого из полученных корней подстановкой в исходное уравнение.

При решении уравнений в тестовой части ЕГЭ настоятельно рекомендуем в любом случае осуществлять проверку.

Преобразование выражений

Для преобразования алгебраических выражений полезными будут следующие свойства дроби и степени:

$\displaystyle  \frac {a}{b} =  \frac {a \cdot c}{b \cdot c}$ и $\displaystyle \frac {a}{b} =  \frac {a : c}{b : c}$ при $\displaystyle c \neq0$,

$\displaystyle \frac {a}{b} \cdot \frac {c}{d}=\frac {ac}{bd}, \frac {a}{b} : \frac {c}{d}=\frac {ad}{bc}, \frac {a}{b} + \frac {c}{d}=\frac {ad+bc}{bd}, \frac {a}{m} + \frac {b}{m}=\frac {a+b}{m}$.

 $\displaystyle a^0=1, a^1=1, a^{-n}=\frac {1}{a^n},  a ^ {1/n} =\sqrt [n] {a},  a ^ {m/n} =\sqrt [n] {a^m},$

$\displaystyle a^m \cdot a^n = a^ {m+n}, a^m : a^n = a^ {m-n}, (a^m)^n= a^{mn}, a^n \cdot b^n = (ab)^n,  a^n : b^n = (\frac {a}{b})^n$.

Нахождение наибольшего/наименьшего значения функции без взятия производной

Квадратичная функция $\displaystyle y= a x^2+bx+c$, где $\displaystyle a \neq 0$,

при $\displaystyle a>0$ достигает своего наибольшего значения при $\displaystyle x_0 = - \frac {b}{2a}$ и не достигает своего наименьшего значения,

при $\displaystyle a<0$ достигает своего наименьшего значения при $\displaystyle x_0 = - \frac {b}{2a}$ и не достигает своего наибольшего значения.

Также наибольшее или наименьшее значение квадратичной функции можно находить с помощью выделения полного квадрата.

Аналогично можно найти наибольшее или наименьшее значение функции вида $\displaystyle y= \sqrt {a x^2+bx+c}$, где $\displaystyle a \neq 0$, при условии, что область определения этой функции отлична от пустого множества.

Задание 1:

Теплоход рассчитан на 846 пассажиров и 24 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 65 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды? Ответ: 

Задание 2:

Диагональ экрана телевизора равна 64 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа. Ответ: 

Задание 3:

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в некотором городе с 3 по 15 марта 1960 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали —количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшее суточное количество осадков, выпадавших в этом городе в период с 3 по 10 февраля. Ответ дайте в миллиметрах. Ответ: 

Задание 4:

При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На графике показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечено время работы фонарика в часах, на вертикальной оси - напряжение в вольтах. Определите по рисунку, на сколько вольт упало напряжение за первые 15 часов работы.  Ответ: 

Задание 5:

Решите уравнение $\displaystyle (5x+7)^2=(5x-9)^2$. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите меньший из них. Ответ: 

Задание 6:

Решите уравнение $\displaystyle \sqrt{4-3x}=x$. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите меньший из них. Ответ: 

Задание 7:

Вычислите значение выражения: $\displaystyle \frac {\sqrt[9]{5} \cdot \sqrt[18]{5}} {\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[12] {25}} $

Ответ: 

Задание 8:

Вычислите значение выражения: $\displaystyle \frac {5^{1{,}9} \cdot 6^{4{,}9}} {30^{2{,}9}} $

Ответ: 

Задание 9:

Найдите наименьшее значение функции $\displaystyle y= \sqrt {x^2 -28x+197}$. Ответ: 

Задание 10:

Найдите наибольшее значение функции $\displaystyle y= \sqrt {-x^2+18x-72}$. Ответ: 

27 урок

Взаимное расположение прямых в пространстве

Две различные  прямые в пространстве могут быть:

  • параллельны (в таком случае существует и притом единственная плоскость, их содержащая, а угол между этими прямыми равен $\displaystyle 0^\circ$);
  • пересекаться (в таком случае существует и притом единственная плоскость, их содержащая, а угол между этими прямыми вычисляется в этой плоскости);
  • скрещиваться (в таком случае не существует плоскости, содержащей одновременно обе эти прямые, а угол между скрещивающимися прямыми находят с помощью параллельного переноса одной из прямых до пересечения со второй прямой).

Часто при нахождении угла между прямыми в пространстве используют теорему косинусов для треугольника, две стороны которого находятся на указанных прямых, или прямых, параллельных указанным.

Теорема косинусов: Для треугольника $\displaystyle ABC$ верно $\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC.$

Перпендикулярность прямой и плоскост

Определение: прямая $\displaystyle a$ перпендикулярна плоскости $\displaystyle \alpha,$ если прямая $\displaystyle a$ перпендикулярна любой прямой, содержащейся в плоскости $\displaystyle \alpha:$ $\displaystyle a \perp \alpha.$

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярно двум пересекающимся прямым, содержащимся в плоскости $\displaystyle \alpha,$ то прямая $\displaystyle a$ перпендикулярна плоскости $\displaystyle \alpha.$

Напоминание: в задачах по геометрии на доказательство можно использовать свойства или определение (например, того, что некоторая прямая $\displaystyle a$ перпендикуляра некоторой плоскости $\displaystyle \alpha$) в том случае, когда факт (например, что $\displaystyle a \perp \alpha$) известен из условия или получен по ходу решения, например, с помощью признака. Если же в условии задачи не дано, что определённая прямая $\displaystyle a$ перпендикуляра определённой плоскости и в решении не используется признак, по которому можно утверждать, что это так, то пользоваться свойствами или определением недопустимо (это будет грубой ошибкой).

Через любую точку пространства можно провести прямую, и притом единственную, перпендикулярную данной плоскости.

Если точка $\displaystyle A$ не принадлежит плоскости $\displaystyle \alpha,$ то проведение такой прямой называют опущением или проведением перпендикуляра на указанную плоскость из точки $\displaystyle A$ на плоскость $\displaystyle \alpha,$ а прямую, проходящую через точку $\displaystyle A$ и точку $\displaystyle H$ пересечения перпендикуляра и плоскости (основания перпендикуляра) называют проекцией этой прямой на плоскость $\displaystyle \alpha.$

Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью

Прямая и плоскость могут быть:

  • параллельны (в таком случае угол между ними равен $\displaystyle 0^\circ$);
  • плоскость может содержать прямую (в таком случае угол между ними также равен $\displaystyle 0^\circ$);
  • пересекаться и быть перпендикулярными (в таком случае угол между ними равен $\displaystyle 90^\circ$);
  • пересекаться и не быть перпендикулярными (в таком случае угол между ними углу между этой прямой и её проекцией на эту плоскость).

Часто для нахождения угла между прямой и плоскостью используют теорему о трёх перпендикулярах.

Теорема о трёх перпендикулярах

Если через некоторую точку вне плоскости $\displaystyle \alpha$ проведены перпендикуляр $\displaystyle h$ к плоскости $\displaystyle \alpha$ и прямая $\displaystyle a$ - наклонная к плоскости $\displaystyle \alpha,$ прямая $\displaystyle b$ является проекцией прямой $\displaystyle a$ на плоскости $\displaystyle \alpha,$ и в плоскости $\displaystyle \alpha$ содержится некоторая прямая $\displaystyle c,$ то:

если проекция $\displaystyle b$ перпендикулярна прямой $\displaystyle c,$ то и наклонная $\displaystyle a$ перпендикулярна прямой $\displaystyle c;$ 

и обратно: если наклонная $\displaystyle a$ перпендикулярна прямой $\displaystyle c,$ то и проекция $\displaystyle b$ перпендикулярна прямой $\displaystyle c.$

Взаимное расположение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть параллельны или пересекаться.

Признак параллельности двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны;

отрезки параллельных прямых, отсекаемые параллельными плоскостями, равны между собой.

Свойства параллельных плоскостей необходимы при решении задач, в которых присутствуют призмы, в том числе параллелепипеды или цилиндры, так как при проведения сечения многогранника, отрезки сечения, лежащего в параллельных гранях, будут параллельны друг другу.

Угол между плоскостями

Если две различные плоскости, например, $\displaystyle \alpha$ и $\displaystyle \beta$ не параллельны, то есть имеют хотя бы одну общую точку, тогда их пересечением является прямая, например $\displaystyle c,$ которая делит каждую из плоскостей на две полуплоскости.  Фигура, содержащая общую прямую этих двух плоскостей и по одной полуплоскости от каждой из плоскостей называется двугранным углом.

Если из некоторой точки $\displaystyle O$ на прямой $\displaystyle c$ провести в указанных полуплоскостях двугранного угла лучи $\displaystyle OA$ и $\displaystyle OB$ где $\displaystyle A \in \alpha, OA \perp c$ и $\displaystyle B \in \beta, OB \perp c,$ то угол, образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла между плоскостями $\displaystyle \alpha$ и $\displaystyle \beta.$

Угол между плоскостями равен наименьшему (острому или прямому) линейному углу двугранных углов между этими плоскостями. 

Для нахождения угла между плоскостями часто используют теорему о трёх перпендикулярах (см. выше). А в случае, когда требуется доказать, что угол между двумя плоскостями равен $\displaystyle 90^\circ,$ то есть две плоскости перпендикулярны, можно использовать признак перпендикулярности двух плоскостей:

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Если одна из двух плоскостей пересекает прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Напоминание: в задачах по геометрии на доказательство можно использовать свойства или определение в том случае, когда факт известен из условия или получен по ходу решения, например, с помощью признака. Если же в условии задачи факт не указан и в решении не используется признак, по которому можно утверждать, что это так, то пользоваться свойствами или определением недопустимо (это будет грубой ошибкой).

Задание 1:

Упражнение 1. Найдите угол между прямыми $\displaystyle KN$ и $\displaystyle ML,$ если известно, что $\displaystyle M-$ середина $\displaystyle KN,$ $\displaystyle LN=9,$ $\displaystyle KN=10, LM=6.$ 

Ответ:

 $\displaystyle arccos \left(- \frac 1 3 \right)$
 $\displaystyle arccos  \frac 1 3 $
 $\displaystyle  - \frac 1 3 $
  $\displaystyle  arctg \frac 1 3 $

Задание 2:

Упражнение 2. В тетраэдре $\displaystyle CKMD$ рёбра $\displaystyle CK=3,$ $\displaystyle CM=12$ и $\displaystyle CD=4$ взаимно перпендикулярны. Найдите угол между плоскостью $\displaystyle KMD$ и плоскостью $\displaystyle CKD.$

Ответ:

 $\displaystyle 0.2$
 $\displaystyle 5$
 $\displaystyle arctg(0.2)$
  $\displaystyle arctg5$

Задание 3:

В параллелепипеде $\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $\displaystyle AA_1=15.$ На ребре $\displaystyle CC_1$ отмечена точка $\displaystyle K$ такая, что $\displaystyle CK=5.$ Через точки $\displaystyle K$ и $\displaystyle D$ проведена плоскость $\displaystyle \alpha$, параллельная $\displaystyle C_1A.$

а) Докажите, что плоскость $\displaystyle \alpha$ делит отрезок $\displaystyle BC$ пополам.

б) Найдите угол между плоскостью $\displaystyle \alpha$ и плоскостью $\displaystyle CDC_1,$ если известно, что параллелепипед - прямоугольный и $\displaystyle AB=AC=12.$

Ответ: $\displaystyle arctg$

Задание 4:

Прямоугольник $\displaystyle ABCD$ со сторонами $\displaystyle AB=4, AD=6$ является основанием 4-угольной пирамиды с вершиной $\displaystyle P.$

Известно, что $\displaystyle AP=8, PB=4\sqrt 3, PC=2 \sqrt {21}.$

а) Докажите, что $\displaystyle PB$ - высота пирамиды $\displaystyle PABCD.$

б) Найдите угол между прямой $\displaystyle PD$ и плоскостью $\displaystyle APB.$ Ответ: $\displaystyle arccos$

Задание 5:

Прямоугольник $\displaystyle ABCD$ со сторонами $\displaystyle AB=2, AD=2 \sqrt 3$ является основанием 4-угольной пирамиды с вершиной $\displaystyle P.$ Известно, что $\displaystyle AP=2 \sqrt {13}, PB=4\sqrt 3, PC=2 \sqrt {15}.$

а) Докажите, что $\displaystyle PB$ - высота пирамиды $\displaystyle PABCD.$

б) Найдите угол между прямыми $\displaystyle AC$ и $\displaystyle PD.$ Ответ: $\displaystyle arccos$

Задание 6:

Сечением прямоугольного параллелепипеда $\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\displaystyle \alpha$, содержащей прямую $\displaystyle AC_1$ и параллельной прямой $\displaystyle BD_1,$ является ромб.

а) Докажите, что $\displaystyle ABCD$ - квадрат.

б) Найдите угол между плоскостью $\displaystyle \alpha$ и плоскостью $\displaystyle ABA_1,$ если известно, что $\displaystyle AA_1=10,  AD=\sqrt {21}.$

Ответ: $\displaystyle arctg$

Задание 7:

В прямом цилиндре проведена образующая $\displaystyle BB_1$ и отрезок $\displaystyle AC_1$ так, что $\displaystyle AC_1$ пересекает ось цилиндра,  точки $\displaystyle A$ и $\displaystyle B$ находятся на одной окружности оснований цилиндра, а точки $\displaystyle B_1$ и $\displaystyle C_1$ - на другой.

а) Докажите, что прямые $\displaystyle AB$ и $\displaystyle BC_1$ перпендикулярны

б) Найдите угол между прямыми $\displaystyle BB_1$ и $\displaystyle AC_1$,если известно, что $\displaystyle AB=12, B_1C_1=5, AA_1=10.$

Ответ: $\displaystyle arctg$

Задание 8:

В прямом цилиндре проведена образующая $\displaystyle BB_1$ и отрезок $\displaystyle AC_1$ так, что $\displaystyle AC_1$ пересекает ось цилиндра,  точки $\displaystyle A$ и $\displaystyle B$ находятся на одной окружности оснований цилиндра, а точки $\displaystyle B_1$ и $\displaystyle C_1$ - на другой.

а) Докажите, что прямые $\displaystyle AB$ и $\displaystyle BC_1$ перпендикулярны

б) Найдите угол между прямой $\displaystyle AC_1$ и плоскостью $\displaystyle BB_1C_1,$ если известно, что $\displaystyle AB=4, B_1C_1=4\sqrt 7, AA_1=16.$

Ответ: $\displaystyle \arccos$

Как записаться на курс

Для того, чтобы записаться на курс, нужно зарегистрироваться, войти в МетаШколу, перейти по ссылке «Все курсы, оплата». Cпособы оплаты.