Геометрия 9 класс

Геометрия 9 класс

Примеры заданий онлайн-курса по школьной программе

1 урок

Лемма. Если векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ коллинеарны и $\displaystyle \vec{a}\ne 0$, то существует такое число $\displaystyle k$, что $\displaystyle \vec{b}=k\cdot \vec{a}$.


Пусть $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ — два данных вектора. Если вектор $\displaystyle \vec{p}$ представлен в виде $\displaystyle \vec{p}=x·\vec{a}+y·\vec{b}$, где $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$ – некоторые числа, то говорят, что вектор $\displaystyle \vec{p}$ разложен по векторам $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$. Числа $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$ называются коэффициентами разложения.

Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Задание 1:

Найдите такое значение $\displaystyle k$, чтобы выполнялось равенство $\displaystyle \vec{a}=k\vec{b}$, если известно, что векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ противоположно направлены, $\displaystyle |\vec{a}|=4$ см, $\displaystyle |\vec{b}|=2$ мм.

Варианты ответов:

$\displaystyle -20$
$\displaystyle 10$
$\displaystyle 1$
$\displaystyle -2$
$\displaystyle 4$

Задание 2:

Диагонали прямоугольника $\displaystyle ABCD$ пересекаются в точке $\displaystyle O$, $\displaystyle N$ — середина отрезка $\displaystyle BO$. Найдите $\displaystyle k$, если $\displaystyle \overrightarrow{BD}=k\overrightarrow{BN}$.

Варианты ответов:

$\displaystyle 4$
$\displaystyle \frac{1}{2}$
$\displaystyle -4$
$\displaystyle -\frac{1}{4}$
$\displaystyle \frac{1}{4}$

Задание 3:

Векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ коллинеарны. Коллинеарны ли векторы $\displaystyle 3\vec{a}$ и $\displaystyle 2\vec{b}$?

Варианты ответов:

нет
да

Задание 4:

Точка $\displaystyle N$ лежит на диагонали $\displaystyle AC$ параллелограмма $\displaystyle ABCD$, $\displaystyle AN:NC=3:1$. Разложите вектор $\displaystyle \overrightarrow{AN}$ по векторам $\displaystyle \overrightarrow{AB}=\vec{a}$ и $\displaystyle \overrightarrow{AD}=\vec{b}$.

Варианты ответов:

$\displaystyle \frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}$
$\displaystyle -\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}$
$\displaystyle \frac{3}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$
$\displaystyle -\frac{3}{4}\vec{a}-\frac{1}{4}\vec{b}$
$\displaystyle \frac{1}{4}\vec{a}-\frac{3}{4}\vec{b}$

Задание 5:

Векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ не коллинеарны. Найдите $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$, если $\displaystyle 2\vec{a}-x\vec{b}=y\vec{a}+3\vec{b}$.

Варианты ответов:

$\displaystyle x=3, \; y=-2$
$\displaystyle x=3, \; y=2$
$\displaystyle x=-3, \; y=2$
$\displaystyle x=-2, \; y=3$
$\displaystyle x=-2, \; y=-3$

Задание 6:

Верно ли утверждение: если векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ не коллинеарны, то векторы $\displaystyle 4\vec{a} + \vec{b}$ и $\displaystyle 4\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны?

Варианты ответов:

нет
да

Задание 7:

Векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ коллинеарны. Выразить вектор $\displaystyle \vec{a}$ через вектор $\displaystyle \vec{b}$, если $\displaystyle \vec{a}(-6; \ 9), \; \vec{b}(2; \ -3)$.

Варианты ответов:

$\displaystyle \vec{a}=-3\vec{b}$
$\displaystyle \vec{a}=-9\vec{b}$
$\displaystyle \vec{a}=-\frac{1}{3}\vec{b}$
$\displaystyle \vec{a}=\frac{1}{3}\vec{b}$
$\displaystyle \vec{a}=3\vec{b}$

24 урок

Осевая и центральная симметрия

Две точки $\displaystyle A$ и $\displaystyle A_1$ называются симметричными относительно прямой $\displaystyle a$, если эта прямая проходит через середину отрезка $\displaystyle AA_1$ и перпендикулярна к нему.



Фигура называется симметричной относительно прямой $\displaystyle a$, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой $\displaystyle a$ также принадлежит этой фигуре.

Прямая $\displaystyle a$ называется осью симметрии фигуры. Фигура обладает осевой симметрией.

Две точки $\displaystyle A$ и $\displaystyle A_1$ называются симметричными относительно точки $\displaystyle O$, если $\displaystyle O$ – середина отрезка $\displaystyle AA_1$.

Фигура называется симметричной относительно точки $\displaystyle O$, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки $\displaystyle O$ также принадлежит этой фигуре.

Точка $\displaystyle O$ называется центром симметрии фигуры. Фигура обладает центральной симметрией.

Параллельный перенос

Параллельным переносом на вектор $\displaystyle \vec{a}$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $\displaystyle M$ отображается в такую точку $\displaystyle M_1$, что вектор $\displaystyle \overrightarrow{MM_1}$ равен вектору $\displaystyle \vec{a}$.

Параллельный перенос является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Поворот

Поворотом плоскости вокруг точки $\displaystyle O$ на угол $\displaystyle \alpha$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $\displaystyle M$ отображается в такую точку $\displaystyle M_1$, что $\displaystyle OM=OM_1$ и угол $\displaystyle MOM_1$ равен $\displaystyle \alpha$.

Поворот является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Призма

Призма называется прямой, если все боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований; в противном случае призма называется наклонной.

Правильная призма — это прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники.

Высота призмы — перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного из оснований призмы к плоскости другого основания.

Все высоты призмы равны и параллельны друг другу.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. $\displaystyle V=Sh$.

Пирамида

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Конус

Конус – это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: $\displaystyle V=\frac{1}{3}·Sh$; $\displaystyle V=\frac{1}{3}·\pi r^2h$.

Задание 1:

Дан остроугольный разносторонний $\displaystyle \Delta ABC$. Построить фигуру, симметричную данной относительно биссектрисы $\displaystyle \angle B$.

Варианты ответов:

Задание 2:

Дан прямоугольник $\displaystyle ABCD$. Построить фигуру, симметричную данной относительно вершины $\displaystyle A$.

Варианты ответов:

Задание 3:

Постройте фигуру, которая получается из данного тупоугольного $\displaystyle \Delta ABC$ с тупым $\displaystyle \angle A$ параллельным переносом на вектор $\displaystyle \vec{a}$, где $\displaystyle \vec{a}$ параллелен стороне $\displaystyle AC$.

Варианты ответов:

Задание 4:

Постройте фигуру, которая получается из данной трапеции поворотом вокруг точки пересечения её диагоналей на $\displaystyle 120^{\circ}$ по часовой стрелке.

Варианты ответов:

Задание 5:

Найдите объём правильной $\displaystyle 6$-угольной призмы, все рёбра которой равны $\displaystyle 4$ см.

Варианты ответов:

$\displaystyle 54\sqrt{3}$ см$\displaystyle ^3$
$\displaystyle 128\sqrt{3}$ см$\displaystyle ^3$
$\displaystyle 96\sqrt{3}$ см$\displaystyle ^3$
$\displaystyle 324\sqrt{3}$ см$\displaystyle ^3$
$\displaystyle 48\sqrt{3}$ см$\displaystyle ^3$

Задание 6:

Найдите площадь полной поверхности правильной $\displaystyle 3$-угольной пирамиды, если сторона её основания равна $\displaystyle 6$ см, а апофема равна $\displaystyle 11$ см.

Варианты ответов:

$\displaystyle 16\sqrt{3}+132$ см$\displaystyle ^2$
$\displaystyle 11\sqrt{3}+84$ см$\displaystyle ^2$
$\displaystyle 54\sqrt{3}+162$ см$\displaystyle ^2$
$\displaystyle 9\sqrt{3}+99$ см$\displaystyle ^2$
$\displaystyle 24\sqrt{3}+108$ см$\displaystyle ^2$

Задание 7:

Найдите объём конуса, если диаметр основания равен $\displaystyle 12$ см, длина образующей конуса — $\displaystyle 10$ см.

Варианты ответов:

$\displaystyle 96\pi$ см$\displaystyle ^3$
$\displaystyle 12\pi$ см$\displaystyle ^3$
$\displaystyle 106\pi$ см$\displaystyle ^3$
$\displaystyle 175\pi$ см$\displaystyle ^3$
$\displaystyle 176\pi$ см$\displaystyle ^3$

Как записаться на курс

Для того, чтобы пройти курс по школьной программе, нужно зарегистрироваться, войти в МетаШколу, выбрать курс и оплатить занятия. Cпособы оплаты.

Задачи олимпиадного характера, нестандартные, повышенной сложности учатся решать в математическом кружке.