Идёт запись!
[Геометрия 9 класс]

Геометрия 9 класс

Геометрия 9 класс

Примеры заданий онлайн-курса по школьной программе

Примеры заданий онлайн-курса по школьной программе

1 урок

Лемма. Если векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ коллинеарны и $\displaystyle \vec{a}\ne 0$, то существует такое число $\displaystyle k$, что $\displaystyle \vec{b}=k\cdot \vec{a}$.


Пусть $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ — два данных вектора. Если вектор $\displaystyle \vec{p}$ представлен в виде $\displaystyle \vec{p}=x·\vec{a}+y·\vec{b}$, где $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$ – некоторые числа, то говорят, что вектор $\displaystyle \vec{p}$ разложен по векторам $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$. Числа $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$ называются коэффициентами разложения.

Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Задание 1:

Найдите такое значение $\displaystyle k$, чтобы выполнялось равенство $\displaystyle \vec{a}=k\vec{b}$, если известно, что векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ противоположно направлены, $\displaystyle |\vec{a}|=4$ см, $\displaystyle |\vec{b}|=2$ мм.

Задание 2:

Диагонали прямоугольника $\displaystyle ABCD$ пересекаются в точке $\displaystyle O$, $\displaystyle N$ — середина отрезка $\displaystyle BO$. Найдите $\displaystyle k$, если $\displaystyle \overrightarrow{BD}=k\overrightarrow{BN}$.

Задание 3:

Векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ коллинеарны. Коллинеарны ли векторы $\displaystyle 3\vec{a}$ и $\displaystyle 2\vec{b}$?

Задание 4:

Точка $\displaystyle N$ лежит на диагонали $\displaystyle AC$ параллелограмма $\displaystyle ABCD$, $\displaystyle AN:NC=3:1$. Разложите вектор $\displaystyle \overrightarrow{AN}$ по векторам $\displaystyle \overrightarrow{AB}=\vec{a}$ и $\displaystyle \overrightarrow{AD}=\vec{b}$.

Задание 5:

Векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ не коллинеарны. Найдите $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$, если $\displaystyle 2\vec{a}-x\vec{b}=y\vec{a}+3\vec{b}$.

Задание 6:

Верно ли утверждение: если векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ не коллинеарны, то векторы $\displaystyle 4\vec{a} + \vec{b}$ и $\displaystyle 4\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны?

Задание 7:

Векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ коллинеарны. Выразить вектор $\displaystyle \vec{a}$ через вектор $\displaystyle \vec{b}$, если $\displaystyle \vec{a}(-6; \ 9), \; \vec{b}(2; \ -3)$.

24 урок

Осевая и центральная симметрия

Две точки $\displaystyle A$ и $\displaystyle A_1$ называются симметричными относительно прямой $\displaystyle a$, если эта прямая проходит через середину отрезка $\displaystyle AA_1$ и перпендикулярна к нему.



Фигура называется симметричной относительно прямой $\displaystyle a$, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой $\displaystyle a$ также принадлежит этой фигуре.

Прямая $\displaystyle a$ называется осью симметрии фигуры. Фигура обладает осевой симметрией.

Две точки $\displaystyle A$ и $\displaystyle A_1$ называются симметричными относительно точки $\displaystyle O$, если $\displaystyle O$ – середина отрезка $\displaystyle AA_1$.

Фигура называется симметричной относительно точки $\displaystyle O$, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки $\displaystyle O$ также принадлежит этой фигуре.

Точка $\displaystyle O$ называется центром симметрии фигуры. Фигура обладает центральной симметрией.

Параллельный перенос

Параллельным переносом на вектор $\displaystyle \vec{a}$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $\displaystyle M$ отображается в такую точку $\displaystyle M_1$, что вектор $\displaystyle \overrightarrow{MM_1}$ равен вектору $\displaystyle \vec{a}$.

Параллельный перенос является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Поворот

Поворотом плоскости вокруг точки $\displaystyle O$ на угол $\displaystyle \alpha$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $\displaystyle M$ отображается в такую точку $\displaystyle M_1$, что $\displaystyle OM=OM_1$ и угол $\displaystyle MOM_1$ равен $\displaystyle \alpha$.

Поворот является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Призма

Призма называется прямой, если все боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований; в противном случае призма называется наклонной.

Правильная призма — это прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники.

Высота призмы — перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного из оснований призмы к плоскости другого основания.

Все высоты призмы равны и параллельны друг другу.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. $\displaystyle V=Sh$.

Пирамида

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Конус

Конус – это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: $\displaystyle V=\frac{1}{3}·Sh$; $\displaystyle V=\frac{1}{3}·\pi r^2h$.

Задание 1:

Дан остроугольный разносторонний $\displaystyle \Delta ABC$. Построить фигуру, симметричную данной относительно биссектрисы $\displaystyle \angle B$.

Задание 2:

Дан прямоугольник $\displaystyle ABCD$. Построить фигуру, симметричную данной относительно вершины $\displaystyle A$.

Задание 3:

Постройте фигуру, которая получается из данного тупоугольного $\displaystyle \Delta ABC$ с тупым $\displaystyle \angle A$ параллельным переносом на вектор $\displaystyle \vec{a}$, где $\displaystyle \vec{a}$ параллелен стороне $\displaystyle AC$.

Задание 4:

Постройте фигуру, которая получается из данной трапеции поворотом вокруг точки пересечения её диагоналей на $\displaystyle 120^{\circ}$ по часовой стрелке.

Задание 5:

Найдите объём правильной $\displaystyle 6$-угольной призмы, все рёбра которой равны $\displaystyle 4$ см.

Задание 6:

Найдите площадь полной поверхности правильной $\displaystyle 3$-угольной пирамиды, если сторона её основания равна $\displaystyle 6$ см, а апофема равна $\displaystyle 11$ см.

Задание 7:

Найдите объём конуса, если диаметр основания равен $\displaystyle 12$ см, длина образующей конуса — $\displaystyle 10$ см.

Как записаться на курс

Для того, чтобы записаться на курс, нужно зарегистрироваться, войти в МетаШколу, перейти по ссылке «Все курсы, оплата». Cпособы оплаты.