Математика 9 класс

Теория:

Решение уравнений по определению модуля.

Определение: Модулем числа $\displaystyle a$ называют такое число $\displaystyle \lvert a\rvert$ , что
$\displaystyle \begin{equation*} \lvert a\rvert= \begin{cases} \displaystyle a, если \ a\geqslant0\\ \displaystyle -a, если \ a<0\end{cases} \end{equation*}$

Пример. Решим уравнение $\displaystyle \lvert {x+2} \lvert=-5x$ по определению модуля.

Если $\displaystyle x+2\geqslant0$, т.е. $\displaystyle x\geqslant{-2}$, то уравнение принимает вид $\displaystyle x+2=-5x, \ x=- \frac{1}{3}$.

Число $\displaystyle -\frac{1}{3}$ является корнем исходного уравнения, т.к. оно удовлетворяет условию $\displaystyle x\geqslant{-2}$.

Если $\displaystyle x+2<0$, т.е. $\displaystyle x<-2$, то уравнение имеет вид $\displaystyle -x-2=-5x, \ x=\frac{1}{2}$.

Это число не является корнем исходного уравнения, т.к. не удовлетворяет условию $\displaystyle x<-2$.

Ответ: $\displaystyle - \frac{1}{3}$.

Решение уравнений с использованием свойств модуля.

Некоторые свойства модуля

Свойство $\displaystyle 1$. $\displaystyle \lvert a\rvert\geqslant0$

Свойство $\displaystyle 2$. $\displaystyle \lvert -a\rvert=\lvert a\rvert$

Свойство $\displaystyle 3$. Если $\displaystyle \lvert a\rvert=b$, то при условии $\displaystyle b\geqslant0$ или $\displaystyle a=b$, или $\displaystyle a=-b$

Пример. Решим уравнение $\displaystyle \lvert x+1\rvert=x^2-3x-4$, используя свойство $\displaystyle 3$ модуля.

Потребуем выполнения условия $\displaystyle x^2-3x-4\geqslant0$ и найдем корни уравнений

$\displaystyle x+1=x^2-3x-4$ и $\displaystyle x+1=-x^2+3x+4$.

$\displaystyle x=3$ неравенству не удовлетворяет.

Значит, корнями исходного уравнения являются только $\displaystyle x=5$ и $\displaystyle x=-1$.

Ответ: $\displaystyle -1; \ 5$.

Формула Герона для площади треугольника.

Площадь треугольника со сторонами $\displaystyle a, \ b, \ c$ и полупериметром $\displaystyle p$ выражается формулой $\displaystyle S=\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Пример. В треугольнике две стороны равны $\displaystyle 11$ и $\displaystyle 23$, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна $\displaystyle 10$. Найдите площадь треугольника.

Продлим медиану на её длину за сторону данного треугольника. Построим параллелограмм. Применим формулу Герона для площади треугольника со сторонами $\displaystyle 11, \ 23$ и $\displaystyle 20$.

$\displaystyle S=\sqrt {27(27-11)(27-23)(27-20)}=\sqrt{27 \cdot 16 \cdot 4 \cdot7}=8 \sqrt{189}$.

Площадь исходного треугольника также равна $\displaystyle 8 \sqrt{189}$.

Учимся решать задачи:

Теория:

Правило Крамера для систем линейных уравнений с двумя переменными.

Рассмотрим систему: $\displaystyle \begin{cases} \displaystyle a_1x+b_1y=c_1,\\ \displaystyle a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}$

Числа $\displaystyle \Delta, \ \Delta_x, \ \Delta_y$ назовем определителями системы.

$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1$.

$\displaystyle \Delta_x=\begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}=c_1b_2-c_2b_1$.

$\displaystyle \Delta_y=\begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}=a_1c_2-a_2c_1$.

При $\displaystyle \Delta \neq 0 \ \ x=\frac{\Delta_x}{\Delta}, \ y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$ - единственное решение системы.

При $\displaystyle \Delta=0$:

если $\displaystyle \Delta_x \neq0, \ \Delta_y \neq0$, то система не имеет решений (система несовместная),

если $\displaystyle \Delta_x=0$ или $\displaystyle \Delta_y=0$, то система имеет бесконечное множество решений (система совместная и неопределенная).

Пример. Найти все значения $\displaystyle a$, при которых не имеет решений система уравнений $\displaystyle \begin{cases} \displaystyle ax+3y=a^2+1,\\ \displaystyle (3a+14)x+(a+8)y=5a^2+5. \end{cases}$.

Решение.

$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix} a & 3\\ 3a+14 & a+8 \end{vmatrix}=a(a+8)-3(3a+14)=(a-7)(a+6)$.

$\displaystyle \Delta_x=\begin{vmatrix} a^2+1 & 3\\ 5a^2+5 & a+8 \end{vmatrix}=$

$\displaystyle =(a^2+1)(a+8)-3(5a^2+5)=(a^2+1)(a-7)$.

$\displaystyle \Delta_y=\begin{vmatrix} a & a^2+1\\ 3a+14 & 5a^2+5 \end{vmatrix}=$

$\displaystyle =a(5a^2+5)-(a^2+1)(3a+14)=2(a^2+1)(a-7)$.

$\displaystyle \Delta=0$ при $\displaystyle a=7$ или $\displaystyle a=-6$.

Если $\displaystyle a=7$, то $\displaystyle \Delta=\Delta_x=\Delta_y=0$, система совместная.

Если $\displaystyle a=-6$, то $\displaystyle \Delta_x\neq0, \ \Delta_y \neq0$, система несовместная, т.е. не имеет решений.

Ответ: $\displaystyle a=-6$.

Решение уравнения с двумя переменными методом оценки выражений.

Пример. Решите уравнение $\displaystyle (x^2+8x+17)(y^2-2y+8)=7$.

Запишем данное уравнение в виде: $\displaystyle ((x+4)^2+1)((y-1)^2+7)=7$.

Заметим, что $\displaystyle (x+4)^2+1\geqslant 1$ при любом $\displaystyle x$, а $\displaystyle (y-1)^2+7\geqslant 7$ при любом $\displaystyle y$.

Исходное равенство возможно при условии:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle (x+4)^2+1=1,\\ \displaystyle (y-1)^2+7=7; \end{cases} \begin{cases} \displaystyle (x+4)^2=0,\\ \displaystyle (y-1)^2=0; \end{cases} \begin{cases} \displaystyle x=-4,\\ \displaystyle y=1. \end{cases}$

Ответ: $\displaystyle x=-4,\ y=1$.

Учимся решать задачи: